Равномерная сходимость интегралов

bvlady552

Я уже несколько дней не могу решить эти три задачи. Сколько методов применил, но не подходят :confused:
Буду благодарен если кто-нибудь предложит свое решение к этим задачам.


Vlad128

Первые два — ну просто самые классические примеры, см. антидемидовича.

lenmas

Первые два — ну просто самые классические примеры, см. антидемидовича.
Последний тоже. При \mu\to0 происходит какая-то ерунда :)
P.S. Но антидемидовича смотреть нельзя! Если конечно хочешь нормально доучиться до конца на мех-мате.

Vlad128

Мы вон в приватах выяснили, что про антидемидовича я наврал, хотя там похожие задачи :). Я, кстати, тоже не открывал его на ВМК :p

lenmas

Ну смотри, при alpha=n функция x^ne^{-x} начинает убывать при x>n. Поэтому
[math]  $$  \int\limits_n^{2n}x^ne^{-x}\,dx>n(2n)^ne^{-2n}>1  $$  [/math]
при n>3. То-есть не выполняется критерий Коши равномерной сходимости.

lenmas

Ниче, ща порешаем! :grin:
Хотя это тоже своеобразный коллективный антидемидович тогда получается --- раздел Study с forum.local :grin:

lenmas

Второй пример можно так объяснить: интеграл не может равномерно сходиться, так как при beta\to0 получается
расходящийся интеграл. Если аккуратно это доказывать, не ссылаясь на теоремы о пределе под знаком равномерно
сходящегося интеграла, то надо написать критерий Коши расходимости интеграла
[math]  $$  \int\limits_0^\infty x\,dx  $$  [/math]
а потом показать, что при малых beta>0 этот критерий Коши можно заменить на критерий Коши для расходимости искомого интеграла. Действительно, пусть beta=1/n и возьмем оценку
[math]  $$  \int\limits_n^{2n}x\,dx>1  $$  [/math]
Тогда, так как при x\in[n,2n] выполнено неравенство e^{-\beta x}>=1/e^2, то
[math]  $$  \int\limits_n^{2n}xe^{-\beta x}\,dx>\frac1{e^2}  $$  [/math]
Следовательно, получаем отрицание критерия Коши равномерной сходимости искомого интеграла.
Блин, я уже устал.

bvlady552

Благодарю за помощь :)

lenmas

Третий интеграл по таким же соображениям при \mu\to0 получается.
Пишем
[math]  $$  \int\limits_{-\pi/2+2\pi n}^{\pi/2+2\pi n}\cos x\,dx=2  $$  [/math]
Подбираем такое маленькое mu>0, чтобы \mu+(\pi/2+2\pi n)^\mu<2 (этого можно добиться, так как при mu\to0 левая часть неравенства сходится к единице). Тогда при этом mu имеем
[math]  $$  \int\limits_{-\pi/2+2\pi n}^{\pi/2+2\pi n}\frac{\cos x}{\mu+x^\mu}\,dx>1/2  $$  [/math]
то-есть опять получаем отрицание критерия Коши.

lenmas

Благодарю за помощь :)
Да не за что.

mtk79

Видел вчера трех здоровенных интегралов. Они сходились к церкви Сошествия Святого Духа. Сходились равномерно, т.к. участвовали в траурной процессии.

fabio

вот вопрос вспомнил - как сейчас политкорректно следует называть "теорему о 2 миллиционерах" в связи с переименованием и сокращением ?

mtk79

В связи с прошедшим переименованием специальным заседанием Конституционного суда РФ теорема признана устаревшей и утратившей законную силу

lenmas

вот вопрос вспомнил - как сейчас политкорректно следует называть "теорему о 2 миллиционерах" в связи с переименованием и сокращением ?
Называй по-старому, имея в виду, что это милиционеры из Белоруссии :)
Там переименовывать милиционеров в полицаев как-то кощунственно по отношению к местному населению :grin:

stm7543347

теорему о 2 миллиционерах
:facepa... тьфу, СЗМ.

kachokslava

я когда в школе учился, теорему называли о двух полицейских :confused:
не-не-не, школа наша, рассейская, в городе санкт-петербурге

stm7543347

Это "принцип двух милиционеров".
2. Даже несмотря на новый закон, слово "милиционер" пишется с одной "л", бля.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: