Задачка по оптимизации

Abdim59

В общем, задача в следующем. Есть периодическая функция
f1(t) = a = const, 0 <= t <= t1
    = 0, t1 < t < T.
T - период, t1 - точка раррыва ф-ии.
необходимо найти функцию f2, такую что
1) f2(t)>0 для любого t
2) |f2'(t)|<b = const (т.е. производная ограничена)
3) интеграл на периоде от (f2(t) - f1(t = 0
4) extr|int(от 0 до t) (f2(t)- f1(t| -> min
то есть нужно, чтобы колебания итерграла разности функций, как функции верхнего предела интегрирования, были минимальны.
Не могу сообразить, как это сдалать  

griz_a

Тебе нужно строго или не обязательно и нужно ли вообще решение или только ответ?

griz_a

Тут возник вопрос - а f2 - периодическая? Или нас интересует все на одном периода, а правый и левый конец функции могут и не склеиваться?
Вообще вот какая фишка - f2(t)- f1(t)>0, t>t1, поэтому int(от 0 до t1) (f2(t)- f1(t<int(от 0 до t) (f2(t)- f1(t<0, t1<t<T
Поэтому максимум модуля достигается на [0,t1] и задачу можно свести к аппроксимации линейной с некоторыми доп. условиями.
Если требуется, чтобы f2(T)=f2(0 то условия одни, если нет, то другие

Abdim59

f2 тоже периодическая, и ещё непрерывная.
Желательны идея решения (то есть словами) и ответ.

griz_a

Ответ для периодической сходу не скажу. Идея, редуцируем задачу на промежуток 0,t1
Добавляем к условиям еще условия на то, что интеграл ее по 0,t1 должен быть достаточно большой по сравнению с f2(0) и f2(t1 чтобы положительная функция на t1,T с указанным ограничением производной существовала (эти условия разные в зависимости от соотношения T-t1, b, f2(0) и f2(t1). Суть нужно чтобы интеграл был не меньше, чем площадь такого подграфика - Выпускаем из (t1,f2(t1 вправо луч y=-xb, из (T,f2(0 влево луч y=xb, ищем точку их пересечения. Теперь берем положительную часть графика под лучами (т.е. ту часть, которая выше 0.
Эта площадь считается и получаем условие на int_{0,t1){f2-a},f2(0f2(t1). Добавляем его к имеющимся и минимизируем модуль интеграла_{0,t} (f2) - at.

Abdim59

да, жаль в свое время ОПУ не ботал
А не можешь на вскидку сказать, на много ли хуже будет, если f2 взять кусочно-линейной с переломами на участках (0,t1 (t1,T) и непосредственно в точке T.
Быть может нгеморр не соит выигрыша?

griz_a

Дальше t1 ее точно можно брать кусочно-линейной, причем наклон-горизонталь-наклон. А вот до, наверное, тоже, но точно не скажу
У меня была мысль как можно любую заменить на кусочно-линейную, но она не удалась
Вечером подумаю еще

Abdim59

спасиба

griz_a

Да, вроде доказал, можно заменить "функцию-оптимизатор" на кусочно-линейную с кусочками либо горизонтальными, либо с наклоном под углом +-arctg(b)

Abdim59

спасибо!

narkom

вроде доказал, можно заменить "функцию-оптимизатор" на кусочно-линейную с кусочками либо горизонтальными
а как это условие выполнится в точках нелинейности?
2) |f2'(t)|<b = const (т.е. производная ограничена)
или имеется ввиду почти всюду?

griz_a

Мы уже про это говорили, что существенно, суть, чтобы производная в каждой точке была в углу как множество

Abdim59

2) |f2'(t)|<b = const (т.е. производная ограничена)

или имеется ввиду почти всюду?
нет, система реальная, посему имеется в виду всюду
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: