Приведение собственных значений параметрической матрицы

greekdom

к одинаковым значениям. Линал был давно, может есть какой нибудь алгоритм, или вообще куда копать?

griz_a

А можно расшифровать задачу?

greekdom

Есть матрица 8х8, размерности 7 зависящая от 16 параметров, как подобрать параметры что бы собственные значения отличные от нуля были одинаковыми.

iri3955

Что значит матрица 8x8 размерности 7? Она ж вроде размерности 8x8.
Может, 7 - это ранг?

zuzaka

чтобы все сз были одинаковыми?
вопрос про ранг поддерживаю

griz_a

Если ранг, то тогда одно с.з 0

greekdom

Линал был давно, имел в виду конечно ранг.

greekdom

Да, одно ноль, а остальный должны быть равными.

griz_a

Есть характеристический многочлен восьмой степени. При этом он имеет вид (lambda-a)^7*lambda.
Получаем уравнения на его коэффициенты. Решаем, находим параметры.

greekdom

>Получаем уравнения на его коэффициенты.
С этот момент можно по подробнее.

griz_a

Ну вообще все зависит от того, какая у тебя матрица.
Одно уравнение очевидно - свободный член равен 0.
Остается sum{i=0..7}(b_i*lambda^i)=(lambda-a)^7 как многочлены.
Значит a=корень седьмой степени из b_0
Далее подставляем лямбды, например, 1,2,3,4,-1,-2,-3 и приравниваем значения многочлена или берем приравниваем b_i и (-a)^(7-i)*C^i_7.

Sanych

Находим характеристический многочлен матрицы. Это такой определитель 8X8 матрицы (A-tE). Сначала делим его на t. Потом делаем замену переменных t=t+c так, чтобы уничтожить член при t^6. И, наконец, приравниваем к нулю коэффициэнты при t^5,t^4...t^1,t^0. Получаем 6 уравнений. Эти уравнения, если зависимость была не слишком сложной, решаются (в том смысле, что, например, какие-то 6 переменных явно выражаются через остальные 10) и дают искомое семейство параметров.

greekdom

>Далее подставляем лямбды, например, 1,2,3,4,-1,-2,-3
Там у меня же все лямбды одинаковые?

griz_a

Фишка в том, что у тебя должны быть равны два многочлена.
А значит и их значения в любых точках.
Но два других метода (мой и вовин) проще, чем этот.

greekdom

>Но два других метода (мой и вовин) проще, чем этот.
А твой это который?

griz_a

берем приравниваем b_i и (-a)^(7-i)*C^i_7.

greekdom

Вообще эта матрица 8х8 составляется из других матриц, которые в свою очередь, создаются используя эти параметры. Поэтому выводить там это все крайне сложно, фактически нереально. И если задача будет стоять так, есть черный ящик который выдает матрицу при введении в него 16 параметров, есть метод что бы решить ее при таких условиях?

zuzaka

Нет. Потому что в том виде, как ты сказал (с черным ящиком и 16-ю параметрами невозможно в общем виде решить задачу даже для случая, когда матрица нулевая.

griz_a

Вообще эта матрица 8х8 составляется из других матриц, которые в свою очередь, создаются используя эти параметры. Поэтому выводить там это все крайне сложно, фактически нереально. И если задача будет стоять так, есть черный ящик который выдает матрицу при введении в него 16 параметров, есть метод что бы решить ее при таких условиях?
Приближенно? Как-нибудь итерировать, наверное.

greekdom

>невозможно в общем виде решить
Так мне и не нужно решение в общем виде, мне нужно написать прогу, которая бы вычисляла параметры для конкретного черного ящика.

griz_a

Всегда нулевая? Ему же, наверное, надо не все решения, а хотя бы одно. Тогда можно - любое

zuzaka

а, ну да

greekdom

>Приближенно?
Да хоть как нибудь. Вообще наверное с черным ящиком сделать что либо нереально.

Sanych

Что можно делать с чёрным ящиком:
0. понять его свойства
Матрица симметричная? Вещественная? Собственные значения могут оказаться комплексными? Что-нибудь про гладкость известно (производные в явном виде выписываются)?
1.Выбрать целевую функцию
Какая-то адекватная задаче мера несовпадения собственных значений друг с другом уже имеется?
2.Минимизировать
Это разбирается в численных методах. Насколько я понимаю, для таких больших размерностей они не намного лучше случайного блуждания, но даже его надо как-то организовать
3.Понять, подходит ли получаемый такой процедурой ответ а)практически, опытным путём б) если есть такая возможность, изучить процесс с теоретической точки зрения
4. При необходимости, изменить один из выборов на предыдущих шагах и повторить процедуру.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: