Неэквивалентные нормы в гильбертовом пространстве

soldatiki

Можно ли задать на (для начала сепарабельном) гильб. пр-е две неэквивалентные нормы, порождённые скалярными произведениями?
(Всем известно, что в конечномерном пр-ве векторная топология единственна и этого, следовательно, сделать нельзя)

naami_moloko

Можно.

naami_moloko

Например на некоторых подпространствах пространства Соболева W(l,2Omega)

z731a

в l_2:
1) (x,y)=x_1*y_1+x_2*y_2+x_3*y_3+...
2x,y)'=x_1*y_1+x_2*y_2/2+x_3*y_3/3+...

afony

Если я не ошибаюсь, l_2 не будет полным по норме, порожденной (x,y)'.

kachokslava

Почему?
что, не любая фундаментальная последовательность сходится?
можно такую норму предложить:
(x,y)'=sum (x_i*y_i/ln(1+i
или логарифм логарифма..
хотя.. ряд может сходится, а ряд умноженный на логарифм - расходится.. такое возможно?
Напомните матан второго курса - 1/n*ln(n) сходится?

afony

Как ни старайся, если домножаешь на коэффициент, стремящийся к нулю с ростом n, все равно пространство l_2 по этой новой норме полным не будет. Именно потому, что найдется не сходящаяся фундаментальная последовательность. Достаточно найти вектор с бесконечной первой нормой в l_2 (и конечной второй, а в случае нормы указанного типа такой найдется) и рассмотреть последовательность векторов, образованных из него обнулением всех координат с номером >N.

z731a

из этих рассуждений получается, что все нормы в гильбертовом пр-ве (оставляющие его гильбертовым) эквиваленты, или нет?

afony

Вовсе необязательно. Просто для норм такого типа (которые порождены (x,y)'=x_1*y_1*a_1+...+x_n*y_n*a_n+... , a_n->0 ) можно найти последовательность {x_n} с x_1*x_1*a_1+...+x_n*x_n*a_n+... <\infty и x_1*x_1+...+x_n*x_n+...=\infty.
(Исправил y_n на x_n в последней строчке - описка )

Irina_Afanaseva

на любом бесконечномерном вещественном векторном пространстве можно задать много скалярных произведений с попарно неэквивалентными соответствующими нормами - выбрать алгебраический базис B, в нем счетное подмножество С={b_1,b_2,...} и для соответствующих координат написать как : (параметр а>0)
(x,y)_a = \sum_{n=1}^\infty x_n y_n / n^a + \sum_{по остальным координатам b\in B\setminus C} x_b y_b

z731a

пример или док-во

Irina_Afanaseva

выше подправил; a>0 --- несущественное требование

afony

Это в общем-то понятно, а вот пример пространства, полного по двум неэквивалентным нормам, заданным скалярным произведением посмотреть было бы интересно.

Irina_Afanaseva

это просто тоже. сейчас

Irina_Afanaseva

надо просто взять разрывную линейную биекцию L:H\to H
гильбертова пространства на себя, и с помощью нее получить вторую норму:
(x,y)_L = (Lx,Ly)

afony

Полнота по (Lx,Ly) не очевидна. Может я просто устал к вечеру , ну да ладно.

svet_lana

А приведи-ка примерчик... Пли-и-из-з-з

svet_lana

Ну что, отдохнули? Так будет полным-то или нет? Интересно же, чем дело кончится...

Irina_Afanaseva

не только будет, а всегда было
так как нормированное (и вообще метрическое) пространство, изометричное полному, --- полно

primus

Ну так в том-то и дело, что нормы должны быть не эквивалентны. Так что изометрии-то не будет...

naami_moloko

Если простанство полно по двум нормам, то они эквивалентны. А так например нормы в С и Lp неэквивалентны (например на С финитных).

afony

Первое утверждение как-то просто доказывается, или это широко известно в узких кругах ? Кажется я придумал доказательство этого факта для двух норм, задаваемых скалярным произведением. Если кому-нибудь будет интересно, могу это док-во написать.

Irina_Afanaseva

ты просто не про ту пару норм говоришь. Разберись внимательнее.
нормы эквивалентны --- если _тождественное_ отображение является гомеоморфизмом.
А мой L _не_ является тождественным:
-------------------
надо взять разрывную линейную биекцию L:H\to H
гильбертова пространства на себя, и с помощью нее получить вторую норму:
(x,y)_L = (Lx,Ly)
--------------------
Именно благодаря его плохим свойствам получается вторая норма, не эквивалентная первой, ---
тождественное отображение с этими двумя нормами является _разрывным_
и новая норма изометрична старой при _разрывном_ (относительно исходной нормы!) отображении L .

Irina_Afanaseva

постом выше - детали контрпримера.

afony

Напиши подробнее, ничего не понятно. Приведи конкретный пример линейной разрывной биекции H на себя.

UltraLoko

Приведи конкретный пример линейной разрывной биекции H на себя.
Разрывный = неограниченный.
H(e1) = e1
H(e2) = 2 e2
H(e3) = 3 e3
...

soldatiki

Если простанство полно по двум нормам, то они эквивалентны.
Это только если одна из норм мажорируется другой. Для несравнимых это не так.

soldatiki

Спасибо, всё отлично. Разрывная биекция полностью решает задачу. И метод хороший.
Для несепарабельного случая возьмём, как всегда, базис Гамеля.

naami_moloko

Что означает несравнимых? По-моему я сказал импликацию, а ты мне следствие импликации впаривать пытаешься вместо моего утверждения...

afony

Как я отмечал выше, это не будет биекцией H на себя, так как найдется элемент h из H, переходящий не в элемент из H.

Irina_Afanaseva

Пожалуйста.
Для сепарабельного, к сожалению, тоже без Гамеля никак.
Значений на ортонормированном базисе хватает для определения только ограниченного оператора.

afony

Пока никто существование разрывной линейной биекции H на себя так и не доказал . Ждем-с...

afony

А все ли отлично? Попробую доказать обратное.
Будем действовать следующим образом. Предположим, что существует пространство H, гильбертово относительно двух неэквивалентных норм ||h||_1 и ||h||_2 (задаваемых скалярными произведениями). Построим последовательность векторов {h_n} из H, попарно ортогональных относительно этих двух скалярных произведений , причем таких, что ||h_n||_1=1, а ||h_n||_2>n.
Строить будем по индукции. Пусть у нас уже есть набор из n векторов, обладающих указанными выше свойствами. Рассмотрим подпространства H_1 и H_2 всех векторов из H, ортогональных к h_1, h_2, ..., h_n относительно первого и второго скалярного произведения соответственно. Оба они имеют конечную коразмерность => конечную коразмерность имеет и их пересечение L=H_1\cap H_2. Если для любого вектора x из L норма ||x||_1\le (n+1)||x||_2, то существует абсолютная константа C такая, что ||h||_1<C||h||_2 для любого h из H (это следует из конечной коразмерности L). Но тогда эти две нормы эквивалентны. Следовательно, в L найдется вектор h_{n+1} такой, что ||h_{n+1}||_1=1, а ||h_{n+1}||_2>n+1. Итак, последовательность {h_n} построена.
Рассмотрим вектор h:=\sum_n (1/n)h_n. Легко видеть, что ||h||_1<\infty, и в то же время ||h||_2=\infty (из тождества Парсеваля и неравенства Бесселя соответственно). Противоречие.

v1160908

Чем-то этот факт мне напомнил теорему Банаха об обратном операторе...

Irina_Afanaseva

Вот построение линейной разрывной биекции
Если учесть существование алгебраического базиса (Гамеля) B,
содержащего данный бесконечный ортонормированный базис (счетный или нет --- неважно)
е_1, е_2 ...
то на первом счетном числе векторов из ОНБ линейный оператор L строится так, как предлагали раньше:
L (e_1) = 10 e_1
L(e_2) = 100 e_2
.....
а на остальных векторах b базиса Гамеля задается тождественным образом: L(b)=b.
На все пространство продолжаем по линейности.
Тогда L будет
1) линейным неограниченным.
2) очевидно существует обратный к L линейный оператор.

Irina_Afanaseva

> А все ли отлично? Попробую доказать обратное.
> Будем действовать следующим образом.
> Предположим, что существует пространство H,
> гильбертово относительно двух неэквивалентных
> норм ||h||_1 и ||h||_2 (задаваемых скалярными произведениями).
> Построим последовательность векторов {h_n} из H,
> попарно ортогональных относительно этих
> двух скалярных произведений ,
> причем таких, что ||h_n||_1=1, а ||h_n||_2>n.
> Строить будем по индукции.
> Пусть у нас уже есть набор из n векторов,
> обладающих указанными выше свойствами.
> Рассмотрим подпространства H_1 и H_2
> всех векторов из H, ортогональных к h_1, h_2, ..., h_n
> относительно первого и второго скалярного произведения соответственно.
> Оба они имеют конечную коразмерность =>
> конечную коразмерность имеет и их пересечение L=H_1\cap H_2.
> Если для любого вектора x из L норма ||x||_1 \le (n+1) ||x||_2,
> то существует абсолютная константа C такая,
> что ||h||_1<C||h||_2 для любого h из H
> (это следует из конечной коразмерности L).
> Но тогда эти две нормы эквивалентны.
> Следовательно, в L найдется вектор h_{n+1}
> такой, что ||h_{n+1}||_1=1, а ||h_{n+1}||_2>n+1.
> Итак, последовательность {h_n} построена.
Прекрасное построение. Всё верно.
> Рассмотрим вектор h:=\sum_n (1/n)h_n.
> Легко видеть, что ||h||_1<\infty,
И до этого места всё хорошо, если иметь в виду, что сходимость ряда
\sum_n (1/n)h_n предполагается в первой норме.
Но тот же ряд просто никуда не сходится во второй норме
--- по теореме, извините, о необходимом признаке сходимости ряда.
Поэтому высказывание:
> и в то же время ||h||_2=\infty
неоправдано ничем.
Противоречия нет.

UltraLoko

Ну да. Нет математической практики, я ж аспирант

afony

Похоже на правду, нужно обдумать.

naami_moloko

Вернёрмся в начало
Можно ли задать на (для начала сепарабельном) гильб. пр-е две неэквивалентные нормы, порождённые скалярными произведениями?
Значит всё же ответ нельзя. Почему - я уже написал.

v1160908

Так доказали же уже, что можно!

naami_moloko

По 2й норме пространство не будет полным.

soldatiki

В теореме об обратном рассматривалось непрерывная биекция. У нас -- наоборот. Построили разрывную (относительно первой нормы) и положили по определению значения второй нормы на образах векторов равными значениям первой на прообразах. Всё отлично, вопрос решен.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: