Геометрическая задача

forester_200

По-моему, не совсем тривиальная и достаточно красивая, чтобы поделиться :)
М - множество точек трёхмерного пространства. Всякое сечение М плоскостью - либо точка, либо окружность, причём по крайней мере в одном сечении получается окружность. Доказать, что М - сфера.
Решение имеется, но хотелось бы послушать идеи форумчан. Думается, в чьей-нибудь светлой голове может родиться что-нибудь изящное и лаконичное.

blackout

Условие гораздо интереснее решения.

Vlad128

Ну типа из всех сечений выбрать сечение с максимальным радиусом (считаем что такое существует). Потом выбрать любой диаметр и посмотреть на сечения всеми плоскостями, проходящими через него. Должны получаться а) окружности б) это будет их диаметр (так как он максимальный таким образом доказано.
Как доказать ограниченность радиусов окружностей? Из ограниченности самой фигуры, а если фигура не ограничена, то у нее есть и сечение, которое не ограничено, т.е. не окружность. Дольше всего думал над тем, как доказать ограниченность :)

blackout

Из ограниченности не следует существование максимального радиуса.

Damrad

не понял пункт б)
на основании чего у этих построенных сечений радиус будет тем же самым - максимальным = радиусу сферы?

Vlad128

Ну да, заморочки с непрерывностью тут есть.

Vlad128

Ну типа если он максимальный, крайние точки диаметра войдут и в любое другое сечение, оно окружность с даметром, не превосходями максимального.

Damrad

ага. ок )

blackout

Мое решение:
Берем одно сечение с окружностью. Проведем прямую, перпендикулярную ему через его центр. Любое сечение проходящее через эту прямую будет окружностью с центром на этой прямой.
Пусть среди них есть две окружности разного радиуса. Проведем сечение параллельное самому первому так, чтобы оно пересекло эти две окружности в точка А, Б и С, Д соответсвенно, причем АБ не равно СД (это можно сделать так как радиусы разные и центры не совпадают). АСБД - параллелограмм с диагоналями разной длины (АБ и СД следовательно через него нельзя провести окружность, противоречие.
Итак, все такие сечения - окружности одного радиуса и, следовательно с общим центром. Они образуют сферу. Понятно, что когда есть сфера других точек быть не может.

Vlad128

с центром на этой прямой
а это почему?

blackout

а это почему?
Т.к. центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде.

Vlad128

Пусть среди них есть две окружности разного радиуса
Ну так тут проще доказывается тогда. Должно быть две окружности разного радиуса с центром на одной прямой и обе сечения одной фигуры, тут не надо еще одно параллельное сечение проводить. Просто фиксируешь одно сечение, очевидно, что у любого другого будет тот же диаметр (хорда с лежащим на ней центром).

blackout

Да.

iri3955

> а если фигура не ограничена, то у нее есть и сечение, которое не ограничено
Это вроде неверно. Точно неверно для плоскости, а значит неочевидно для пространства.
upd.
Да, например, кривая (t, t^2, t^3).
В пересечении с любой плоскостью даёт конечное число точек, т.е. любое сечение ограничено.

iri3955

Выберем 2 точки A и B из M. Есть семейство окружностей, проходящих через эти 2 точки (вращаем плоскость вокруг прямой).
Возьмём 2 из них. Натянем на них сферу. Каждая плоскость пересекающая интервал (A, B) и не содержащая концов,
пересекает пару выбранных окружностей в 4х точках, которые лежат на одной окружности (окружность пересечения плоскости и сферы
а значит вся окружность пересечения лежит в M. Таким образом, вся сфера лежит в M.
Очевидно, что других точек нет

antill

Егор, имхо ты становишься школьным учителем: придумываешь и решаешь задачки по элементарной математике и задачки "на смекалку".
Если это то, чего ты хочешь, то поздравляю :D

seregaohota

школьные учителя в обычной школе как раз на натаскивание на стандартные задачи заточены, это как раз то, о чём министр говорил что не хватает в школьной математике креативности. Нестандартных задач на чтобы подумать. Не учат в стандартной школе думать

antill

мне кажется, лучше в профильных классах изучать теорию множеств, теорию вещественного числа, общую топологию, общую алгебру, такие вот вещи
честно говоря, никогда не любил головоломки
может просто потому что тупой :grin:

incwizitor


а я решил картинку нарисовать (не обращайте внимание на излом одного отрезка=)
удивительно, но точки X, Y, W, V не могут быть различными
их даже три разных не может быть, ибо сечение через них должно давать точку или окружность (три точки на прямой не могут принадлежать одной окружности)
значит, X=Y, W=V

blackout

Да, именно так я и понял этот пост

lenmas

мне кажется, лучше в профильных классах изучать теорию множеств, теорию вещественного числа, общую топологию, общую алгебру, такие вот вещи
Дебилизм, развенчанный еще Понтрягиным в 70-ых --- 80-ых.
Провалившаяся реформа Колмогорова как раз промышляла тем, что ты предлагаешь.
Лучше бы учили нормальным школьным вещам, ну там алгебре, тригонометрии, геометрии вместо этой тряхомуди.

Vlad128

развенчанный еще Понтрягиным
:) ну что значит развенчанный? Ничего он не развенчивал, просто разные подходы.

lenmas

:) ну что значит развенчанный? Ничего он не развенчивал, просто разные подходы.
Почитай воспоминания Понтрягина про эту борьбу. В общем, наше образование начали разваливать
еще задолго до развала Советского Союза. Не зря Колмогорову национальную премия Израиля дали :)

Vlad128

я читал мемуары Понтрягина почти целиком, я с ним во многом согласен, просто не люблю преувеличения.

antill

ребята, можете дать почитать что-нить по теме? лучше в бумажном виде :)

forester_200

Егор, имхо ты становишься школьным учителем
А по мне - так обычным :grin: :(
Вань, специально для тебя вывожу задачу за грань элементарного:
M - множество точек n-мерного пространства, всякое сечение которого гиперплоскостью даёт либо точку, либо (n - 2)-мерную сферу. Причём есть по крайней мере одно сечение, в котором получается (n - 2)-мерная сфера. Доказать, что М - (n - 1)-мерная сфера :grin:

blackout

Эта задача решается совершенно аналогично исходной. Фи.

forester_200

Зато не школьная :smirk:
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: