Умные люди! Помогите, пожалуйста, решить задачи по алгебре!

lagr05

Если кто разбирается в теории представлений, разрешимости групп, помогите, пожалуйста, решить задачи :
1. Доказать, что любая группа порядка 2014 разрешима. Построить неабелеву группу порядка 2014, определить ее коммутант, одномерные комплексные представления.
2. Построить неабелеву группу порядка 75. Составить для нее таблицу неприводимых комплексных характеров.
3. Пусть конечная группа G действует (перестановками) на конечном множестве X и -"Nu(g)"- число неподвижных точек элемента . Показать, что "Nu(g)" - характер группы G.
Найти число орбит группы G на X.
Очень нужно!

Valeryk

СЗММ

mtk79

на X
Как это исстари ведется, ответ содержался в самом вопросе

mtk79

вообще, с такой фамилией — С3MM^2

stm8853410

Поиск по контактику выдал, что это МАТИС. Я считаю крайне позитивным тот факт, что люди с этой кафедры проявляют интерес к математике, так что...
Идея решения 3й задачи:
а) представление с нужным характером получается, если для каждого элемента множества взять свой базисный вектор и переставлять базисные вектора так же, как элементы множества.
б) число орбит = сумма по всем элементам множества Х величины (поряжок стабилизатора элемента / порядок группы G). А сумма порядков стабилизаторов легко выражается через числа Nu(g).

LEV16101951

В случае, когда порядок группы является произведением небольшого числа простых множителей, разные интересные вещи можно узнать из теорем Силова (глава 10, параграф 4 в книжке Винберга). Давай с этой точки зрения посмотрим на группу [math]G[/math] порядка 2014 = 2 * 19 * 53.
Я утверждаю, что у неё есть эпиморфизм на группу порядка 2 * 19, у которой в свою очередь есть эпиморфизм на группу порядка 2. Поскольку всякий гомоморфизм в абелеву группу пропускается через фактор по коммутанту, это означает, что фактор [math]$G / (G, G)$[/math] не может быть единичным, т.е. коммутант [math]G[/math] — собственная подгруппа. Раз так, то число элементов в коммутанте может быть 1, 19, 53 или 19*53. В первых трёх случаях получаем абелеву группу уже в первом члене производного ряда. А в последнем случае построим эпиморфизм на [math]$\mathbb{Z}_{19}$[/math] и получим, что второй коммутант окажется абелевой группой. Таким рассуждением получим, что у нашей исходной группы третий коммутант обязан быть единичной группой.
Давай разберёмся, откуда взять эпиморфизм из [math]G[/math] на группу порядка 2 * 19. По одной из теорем Силова, в [math]G[/math] существуют подгруппы порядка 53, притом все они сопряжены друг другу. Далее, число силовских 53-подгрупп сравнимо с единицей по модулю 53. Есть ещё одно важное соображение: группа [math]G[/math] действует на множестве своих подгрупп сопряжениями, поэтому цитированную выше часть теоремы Силова можно (и нужно) переформулировать так: множество силовских 53-подгрупп в [math]G[/math] — это орбита одной 53-подгруппы. Это означает, что число силовских 53-подгрупп делит индекс этих групп.
Итак, число 53-подгрупп, во-первых, имеет вид 53*k + 1, во-вторых, на него делится число 38. Значит, силовских 53-подгрупп есть только одна штука, т.е. она нормальна. Поэтому по ней можно отфакторизовать и получить нужный нам эпиморфизм на группу порядка 2*19.
Примерно так же показывается, что группа порядка pq, где p и q просты, обязана быть полупрямым произведением циклических групп [math]$\mathbb{Z}_p$[/math] и [math]$\mathbb{Z}_q$[/math], откуда получается использованное выше утверждение про группу порядка 19*53.

LEV16101951

Как можно подходить к задачкам про "постройте некоммутативную группу".
Предположим, что у нас есть две подгруппы [math]G[/math] и [math]H[/math] в какой-то большей группе, притом [math]H[/math] нормальна. Давай посмотрим, как перемножаются элементы вида [math]$gh$[/math]: [math]$g_1h_1 \cdot g_2h_2 = g_1g_2 \cdot g_2^{-1}h_1g_2h_2$[/math]; поскольку [math]H[/math] номальна, элемент [math]$(g_2^{-1}h_1g_2)h_2$[/math] лежит в [math]H[/math], т.е. мы снова получаем произведение вида [math]$gh$[/math].
Если группы [math]G[/math] и [math]H[/math] не содержатся в какой-то большей группе, то пары [math]$(g, h)$[/math] по написанной выше формуле умножать не получится, поскольку неясно, что такое [math]$h^{-1}gh$[/math]. Но давай предположим, что [math]G[/math] умеет действовать на [math]H[/math] автоморфизмами, т.е. имеется гомоморфизм [math]$\varphi : G \rightarrow {\rm Aut}(H)$[/math] (в рассмотренной выше ситуации [math]G[/math] действовала на [math]H[/math] сопряжениями). Давай по аналогии скажем, что [math]$(g_1, h_2) \cdot (g_2, h_2) = (g_1g_2, \varphi(g_2^{-1}h_1)h_2)$[/math]. Элементарно проверяется, что относительно такой операции у нас получается группа, которую обозначим [math]$G \ltimes H$[/math]. Её порядок, конечно, будет равен [math]$|G| |H|$[/math].
Теперь вернёмся к группе [math]G[/math] порядка 2014. Чтобы легче было разбираться с её представлениями, давай постараемся выбрать её попроще и по возможности бОльшую часть сделаем абелевой: [math]$G = H \times \mathbb{Z}_{53}$[/math], где [math]H[/math] — неабелева группа порядка 38. Последнюю можно построить так: у каждой абелевой группы есть инволютивный автоморфизм: [math]$a \mapsto -a$[/math], поэтому на каждой абелевой группе имеется действие [math]$\mathbb{Z}_2$[/math] автоморфизмами. Значит, можно образовать группу [math]$\mathbb{Z}_2 \ltimes \mathbb{Z}_{19}$[/math]; вот её и возьмём в качестве [math]H[/math].
Конечно, говорить об абстрактной группе [math]$\mathbb{Z}_2 \ltimes \mathbb{Z}_{19}$[/math] — это маленько перебор, поскольку она имеет простое геометрическое описание: это группа симметрий правильного 19-угольника. Но данная конструкция пригодится, наверное, во второй задачке. Там из теорем Силова получается, что искомая неабелева группа порядка 75 может иметь вид [math]$\mathbb{Z}_3 \ltimes \mathbb{Z}_{25}$[/math] или [math]$\mathbb{Z}_3 \ltimes (\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5)$[/math]. Поскольку группа [math]$\mathbb{Z}_{25}$[/math] имеет 20 автоморфизмов (умножения на числа, взаимно простые с 25 то у неё не бывает автоморфизмов порядка три, т.е. первый вариант отпадает. Остаётся [math]$\mathbb{Z}_3 \ltimes (\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5)$[/math]. Здесь надо только понять, как [math]$\mathbb{Z}_3$[/math] может действовать на [math]$\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5$[/math]. Методом пристального вглядывания находим, что в [math]$GL_2(\mathbb{Z}_5)$[/math] есть элемент порядка три: [math]$ \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $[/math]

kolyan

Ты такой добрый :o :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: