(ОбщАлг) разделяют ли характеры лююые 2 элемента абелевой группы?

edikbl

то есть если (G,+,0) --- абелева группа и $ a \in (G\setminus \{0\} ) $,
то найдется ли гомоморфизм f, отображающий
$G$ в группу комплексных чисел единичной длины (по умножению
такой, что $f(b-a) \ne 1$ ?
в Спр.Книге по Общ.Алг. не нашёл этого
Там только написано, что если $G$ локально компактная, то хватает уже непрерывных гомоморфизмов (теорема Понтрягина).

edikbl

Трансфинитное продолжение характера с подгруппы помогло. То есть ответ вроде бы "да".

edikbl

все-таки вредно вечером решать...
надо Фукс, "Бесконечные абелевы группы" смотреть

Rumata

Я думаю что ответ "да".
Стандартное определение из гомологической алгебры: R-модуль называется инъективным, если для любого мономорфизма f: A->B отображение f*: Hom(B; R)->Hom(A; R) -- эпиморфизм. Абелева группа - то же что и Z-модуль. Известен критерий инъективности абелевой группы D (как Z-модуля): абелева группа D инъективна т. и т.т. когда для произвольного d\in D и произвольного целого $m\neq 0$ уравнение mx=d разрешимо.
Легко видеть, что группа T комплексных чисел равных по модулю 1 (с операцией умножения) удовлетворяет последнему условию (только здесь нужно использовать мультипликативную запись x^m=d поэтому инъективна как Z-модуль. Пусть теперь A - произвольная абелева группа, $a\in A$ - произвольный элемент, отличный от 0. Ясно, что существует гомоморфизм f_0: Za->T подгруппы $Za\subset A$, порожденной элементом $a\in A$, такой что $f_0(a)\neq 1$. Но тогда по инъективности T он может быть продолжен до гомоморфизма f:A->T, т.е. до характера A. Отсюда вроде бы все следует.

Rumata

Да, кстати где об этом посмотреть: Маклейн "Гомология" или Браун "Когомологии групп", а так должно быть в любом учебнике гомологической алгебры.

edikbl

Спасибо. А вот я еще подумал, что в дискретной топологии любая группа локально компактна.
Тогда хватает двойственности Понтрягина. Кстати, зашёл на кафедру алгебры и спросил кого-то немолодого об этом, и он не ответил

Xephon

надо спрашивать Е.С.Голода. он ответит
только ты можешь не понять

sanosik

его прекрасно понимаю с 1 курса он у меня вёл. только по работе сейчас не пересекаемся.
и ещё, если кто не заметил -
ВОПРОС РЕШЁН! Всем спасибо за советы.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: