Задача по физике

Gugumot

Двое играют в следующую игру: сначала первый игрок ставит кубик на ровную поверхность, второй игрок ставит кубик на уже поставленный кубик, затем снова первый игрок ставит кубик на кубик второго игрока. И так далее.
То есть каждый ход игрок должен поставить свой кубик поверх остальных кубиков. Проигрывает тот, кто не может поставить кубик так, чтобы вся конструкция осталась стоять.
В связи с этой игрой возникают два вопроса
1) существуют ли ситуации, в которых один из игроков не может сделать ход?
2) если да, то есть ли у какого-нибудь игрока выигрышная стратегия?

BSCurt

"Здравый смысл" подсказывает мне что ответы на оба вопроса: нет. Но серьезно я не думал.

Gugumot

А мне подсказывает, что это далеко не очевидно. Ведь не только третий кубик должен стоять на втором, но второй и третий вместе взятые на первом. И так далее. Условий не так мало.

sunni

Если выигрышная стратегия и существует, то у второго игрока.
Пусть выигрышная стратегия существует. Предположим, что у первого игрока. Он ставит первый кубик. Тогда второй игрок, поставив кубик ровно на первый кубик, становится "первым игроком". С этого момента у него тоже есть выигрышная стратегия. Противоречие.

Skilet3d

) существует, пример писать долго, но смысл в том что можно сильно сместить место установки кубика, так что при любой постановке все будет сваливаться с первого кубика
2) выигрышной стратегии нет, т.к. у каждого есть беспроигрышная стратегия ставить кубик ровно над первым, тогда конструкция всегда на вашем ходе будет устойчива

griz_a

2) выигрышной стратегии нет, т.к. у каждого есть беспроигрышная стратегия ставить кубик ровно над первым, тогда конструкция всегда на вашем ходе будет устойчива

Мм, а в шахматах у каждого игрока есть беспроигрышная стратегия ходить конем взад-вперед. Если и второй будет так делать, то будет ничья.

BadikSmoke

м, а в шахматах у каждого игрока есть беспроигрышная стратегия ходить конем взад-вперед. Если и второй будет так делать, то будет ничья.
WAT?
можно пояснить поподробней?

sunni

Выигрышной стратегии не существует.
Так как выигрышная стратегия может быть только у второго игрока (как показано выше то докажем, что у первого игрока есть стратегия непроигрыша, то есть он сможет поставить любое количество кубиков, какая бы стратегия не использовалась вторым игроком.
Стратегия непроигрыша первого игрока проста: нужно всего лишь всегда ставить свой кубик ровно над своим первым кубиком. Устойчивость башенки выражается серией неравенств. Из этих условий устойчивости башенки после какого-то хода второго игрока можно получить, что следующий ход первого игрока (согласно его стратегии) также приведёт к устойчивой башенке (индукция).

Таким образом, выигрышной стратегии не существует, но может оказаться, что проигрывает тот, кто первый поставит свой кубик неровно.

Vlad128

нет, ну столько очевидного текста, а про самое интересное — два слова («серия неравенств») :(

griz_a

Так как выигрышная стратегия может быть только у второго игрока (как показано выше то докажем, что у первого игрока есть стратегия непроигрыша, то есть он сможет поставить
Как-то это все неправдоподобно.
Вот, скажем, поставил я второй кубик на ребро вот так <>
Причем не прямо по центру, а чуть сдвинул вбок. Тогда первый по этой стратегии ставит кубик прямо над первым и тот падает, соскальзывая по второму.

BSCurt

Вот, скажем, поставил я второй кубик на ребро вот так <>
Ага ты ещё не вершину поставь, это всё таки вырожденный случай видимо не включенный в рассмотрение.

sunni

 Пусть [math]$$X_{i}$$[/math] - координаты центров кубиков в системе координат, связаной с первым кубиком( [math]$$X_1=0$$[/math] ). Кубики пронумерованы с основания. Сторону кубика возьмём равной 2. Стратегия первого игрока - [math]$$X_{2i+1}=0$$[/math] . Второй игрок ходит последовательностью [math]$$X_{2i}$$[/math], произвольной, но лишь бы на его ходе башенка устояла.
Устойчивость системы из [math]k[/math] кубиков выражается [math]k[/math] неравенствами. Каждое есть факт того, что центр масс всех кубиков без [math]j[/math] первых находится над [math]j[/math] кубиком, [math]$$0<=j<=k$$[/math].
 [math]$$|X_k-X_{k-1}|<=1$$[/math]
 [math]$$|(X_k+X_{k-1})/{2}-X_{k-2}|<=1$$[/math]
  ..
 [math]$$|(X_{k}+... +X_{j+1})/(k-j)-X_{j}|<=1$$[/math]
 ..
 [math]$$|(X_k+...+X_{1})/{k}|<=1$$[/math]
Другими словами, самый верхний кубик не упадёт с предидущего, два самых верхних как целое не упадут с третьего с конца кубика и так далее.
Теперь надо предположить, что второй игрок сделал ход и башенка устояла. Второй сделает свой ход, [math]$$X_{2i+1}=0$$[/math] , и условия устойчивости его новой башенки являются следствиями условий устойчиовсти башенки второго игрока. Надо чуть-чуть помучится, важное следствие, например, что все [math]$$|X_{2i}|<=1$$[/math] .

Vlad128

надо просто потребовать устойчивость или хотя бы безразличность положения равновесия, иначе плохо :(

luherstag

Контрпример:

Edit: Сорри, неправильно прочитал.

filippov2005

Update. Липа. Ниже правильный пример.
1).
2). уже ответили.

sunni

Почему же? Включить можно и эти случаи, но такие постановки неустойчивы, так что любой, кто поставит на ребро или вершину, проиграет.

sunni

Если это пример того, когда нельзя сделать никакой ход, то он некорректен. Второй с верхушки кубик, сам по себе, без самого верхнего - неустойчив.

filippov2005

Точно. Слажал :)

filippov2005

Во как!

Vlad128

ну и еще наверняка не учтено, что можно поворачивать кубики вдоль вертикальной оси :)

natunchik

А, я понял, важно что первый всегда ставит кубик над своим оригинальным, так что такая ситуация невозможна.

Skilet3d

Мм, а в шахматах у каждого игрока есть беспроигрышная стратегия ходить конем взад-вперед. Если и второй будет так делать, то будет ничья.
Какого хрена заминусовали?
Санек, тебе не кажется что это немного разные разные вещи, стратегия бала заключалась в том что например если я первый игрок то ставлю всегда все свои кубики над своим первым кубиком, тогда получим что второй не сможет никогда сдвинуть свой кубик так чтобы он не пересекал центральную линию, поэтому первый при постановке на кубик второго не будет свешиваться с него больше половины

sunni

Кстати говоря, если позволить только вращать кубики вокруг вертикальной оси, то ситуация не меняется. Первый игрок должен ставить очередной кубик ровно над своим первым кубиком, без вращения.
А вот если позволить центрам кубиков не лежать в одной плоскости, то всё становится сложнее. Наверное это и имелось ввиду:)

incwizitor

Тогда второй игрок, поставив кубик ровно на первый кубик, становится "первым игроком".
не становится, т.к. не показана эквивалентность состояний : один кубик, два кубика друг над другом. да и эквивалентности я не вижу - центр тяжести хоть и на одной вертикали, но он на разной высоте и разная масса
зы: возможно, я неправильно понял идею доказательства :(

vsh2805

Мне кажется, что в условии чего-то нахватает. А именно какую часть должен покрыть кубик поверхность другого чтоб не упасть. Это будет 1/2 или 1/4 и т.д.
Вообще тут нет определения устойчивости конструкции исходя из этого определения можно строить стратегию.
Мне кажется, что выиграет второй. Стратегия такая чтоб кубик второго устанавливался так, чтоб всегда был открыт центр на первом кубике.

sunni

Если хочется математическй строгости, то представим, что есть 2 кубика, стоящих ровно друг на друге, а на них некоторая произвольная конечная последовательность кубиков. [math]$$X_1=0, X_2=0, X_{2+k}$$[/math] .
Есть вторая система: один кубик и на нём та же самая последовательность кубиков. [math]$$X_1=0, X_{1+k}$$[/math].
Покажем, что условия устойчивости выполняются одновременно для двух систем.
Обозначим [math]$$Y_i$$[/math] - центр масс верхних [math]i[/math] кубиков(одинаковы для обеих систем [math]1<=i<=k[/math]. Устойчивость системы выражается серией неравенств. Серия первой системы есть серия второй системы, дополненная одним неравенством - устойчивость всех кубиков первой системы кроме самого нижнего, относительно него. То есть [math]$$|(Y_{k}+X_2)/2-X_1|<=1$$[/math] . Но оно является следствием одного неравенства, уже содержащегося в серии второй системы - устойчивость всех кубиков, кроме самого нижнего, относительно него. [math]$$|Y_k|<=1$$[/math] , а [math]$$X_2=0, X_1=0$$[/math] .
Так что серии неравенств устойчивости для обеих систем эквивалентны.

sunni

Думаю, игра играется в бытовых условиях нашей планеты.
Устойчивость стоит понимать в смысле равновесия системы тел в рамках ньютоновской механики.

Xephon

Думаю, игра играется в бытовых условиях нашей планеты.

В бытовых условиях Рассеи 2+2 не есть 4, т.к. должен быть откат.
А у нас в Стади тут все идеалисты, так что планета плоская, и держат её 3 кита.

vsh2805

Кубики бывают разные из металла, деревянные, бумажные, внутри пустые, полупустые и т.д. В зависимости от кубика кто-то может держатся и на 1/3 а кому-то нужно минимум 1/2 или 1/4 и т.д. Вот и я спрашиваю про условия какую минимальную часть кубика должен покрывать кубик чтоб не упасть с кубика.

vsh2805

А ответ тут однозначный. Либо ничья либо второй выиграет.

Vlad128

понятно же, что в этой задаче от кубика требуется только форма внешней оболочки (кубик! положение центра масс (в центре) и одинаковость кубиков (масса). Тогда от металличности, полости и страны проведения эксперимента не будет ничего зависеть.

sunni

Либо ничья либо второй выиграет.

Первый может выиграть, как и второй! Нет лишь априорной стратегии выигрыша.

vsh2805

Первый не может рассчитывать на победу. Как сказано было выше, если есть стратегия победы для первого игрока, тогда второй может поставить просто кубик ровно на первый кубик то игра сводится к началу( второй игрок становится первым). и чтоб занять выгодную позицию первому игроку он ставит кубик четка сверху 2 игрока и т.д. до бесконечности. Если есть стратегия победы второго игрока, то он просто воспользуется ей.

incwizitor

Покажем, что условия устойчивости выполняются одновременно для двух систем.
показали, а выводы какие делаем? утверждаем, что оба положения одинаково выигрышные
но ведь мы предположили (хотя никто так и не показал что есть устойчивое положение, на которое нельзя поставить очередной кубик, ибо получим неустойчивое. значит, существуют невыигрышные, но устойчивые положения

sunni

Можно вообще забыть про выигрыш, про игру, про двух игроков.. Показано лишь то, что равновесие башенки не зависит от количества начальных ровнопоставленных кубиков. Удивительно, что Вы не чувствуете,что на эти кубики можно закрыть глаза, как будто их нет вовсе.

Skilet3d

показали, а выводы какие делаем? утверждаем, что оба положения одинаково выигрышные
но ведь мы предположили (хотя никто так и не показал что есть устойчивое положение, на которое нельзя поставить очередной кубик, ибо получим неустойчивое. значит, существуют невыигрышные, но устойчивые положения
Вань если сложно придумать пример, когда нельзя поставить очередной кубик, держи

первые 6 сдвинуты на треть относительно нижнего вторые 3 сдвинуты немного меньше трети относительно первых, верхний кубик сдвинут более чем на треть но менее чем на половину относительно предыдущих

KaterinKa

Вспоминается школьная задачка, где нужно доказать, что, ставя кубики один на другой, можно построить сколь угодно длинный навес.
Соответственно, всегда можно поставить следующий кубик так, что конструкция не упадет.

Skilet3d

кстати есть еще интересная задачка про то что строя пирамидку из кубиков можно сместить место установки очередного кубика сколь угодно далеко от центрального

incwizitor

Можно вообще забыть про выигрыш
я лишь хотел показать вам, что задача не такая простая, как кажется и простыми фразами не отделаться, хотя можно все списать на мое занудство :(

sunni

Есть огромная разница между отсутствием априорной выигрышной стратегии и возможностью выигрыша. Вполне может оказаться, что как только кто-то из игроков поставил свой кубик не точно над предидущим, то у другого игрока сразу появляется стратегия выигрыша. Выставление кубиков ровно друг на друг обоими игроками - это, как уже говорили тут, конями ходить туда-обратно.

incwizitor

первые 9 сдвинуты на треть относительно нижнего вторые 3 сдвинуты на треть относительно первых верхний кубик сдвинут более чем на треть но менее чем на половину относительно предыдущих
решил я проверить вашу схему, но как-то не срослось
зеленый кубик я сместил на 45 процентов, как и описано
более чем на треть но менее чем на половину относительно предыдущих
на вашу башню я поставил кубик, который сместил влево на 45 процентов. башня вроде устойчивая
буду рад, если поможете найти ошибку
http://ideone.com/29kj7 :grin:

sunni

Я вручную прикинул: и до, и после башенки устойчивы.
Что-то мне подсказывает, что автор примера использует неправильные критерии устойчивости. То, что левый край самого верхнего кубика находится правее правого края первого, не означает неустойчивость.

filippov2005

Чем вам мой пример-то не нравится?

Uthgart

"Если я что-нибудь в чем-нибудь понимаю" (С)
Устойчивость всей конструкции достигается, если ее центр тяжести не выходит за границы самого первого кубика (разумеется, если считать, что с появлением каждого кубика конструкция остается устойчивой). Если считать что все кубики одинаковые размером 2n и поместить первый кубик в начало координат, то условием устойчивости будет Х(центра тяжести)<n (возможно <=, но это я так с ходу не соображу). Х(центра тяжести) вычисляется простым средним арифметическим из смещений всех кубиков над первым. Чтобы сделать столбик устойчивым при постановке нового кубика не достаточно просто оставить среднее арифметическое всех смещений (кроме первого кубика) меньше половинного размера первого кубика. Нужно учитывать все подмножества столбика (подстолбики) таким же точно образом. То есть сначала смотрим, чтобы центр тяжести нового кубика не выходил за пределы предыдущего - получаем границы (диапазон) в пределах которых можно новый кубик смещать, затем смотрим общий центр тяжести двух верхних кубиков и уточняем границы смещения верхнего кубика. И так до самого первого. Выиграть можно только если при достижении нижнего кубика этот диапазон схлопнулся до нуля, то есть есть ровно одно положение верхнего кубика. Существует такая ситуация или нет пока утверждать не берусь :)

sunni

Пример правильный, но лучше всех сдвигать на эпсилон меньше. Ситуация, когда центр тяжести находится на краю опоры , является стационарным положением, но положением неустойчивым относительно произвольно малых возмущений. Так что, по правде, надо работать с открытыми множествами.

filippov2005

Можно считать, что границы сетки принадлежат кирпичам. Тогда центры тяжестей находятся над серединами линий сетки. Т.е. эпсилон = половине толщины сетки.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: