Значение функции по ее производной

KingMicha

У меня известна производная комплекснозначной функции, мне нужно найти значение функции в точке. Если тупо взять интеграл, там получаются эллиптические функции и всё плохо. Вопрос собственно такой, можно ли как нибудь обойтись без интегрирования, и найти приближенно?

blackout

Функция голоморфная?

KingMicha

. Не голоморфная.

blackout

А по какому пути ты интегрируешь?

blackout

Приближенно можно в ряд Тейлора разложить, он будет сходиться в окрестностях неособых точек. Правда насчет скорости сходимости ничего не знаю.

KingMicha

От 0 до 100 по мнимой оси. Попробую через Тейлора. Спасибо.

blackout

Т.е. ты знаешь значение в 0 и хочешь найти в 100*i? Тогда:
1) Интеграл зависит от пути из-за наличия особых точек.
2) Ряд Тейлора будет сходиться в максимальном круге с центром в точке, в которой ты разлагаешь, не содержащем особых точек. Потом надо выбрать точку в этом круге, и разложить уже в ней. Потом выбрать точку во втором круге и разложить уже в ней. И т.д., пока не покроешь кругом сходимости 100*i. В зависимости от выбора точек разложения у тебя получатся несколько разных результатов.
Короче, разлагать в ряд Тейлора это гиблое дело, надо по другому делать.

seregaohota

Maple

int( u * sqrt(u+1) * sqrt(u+0.85) / (u^2-1) / sqrt(u-1) / sqrt(u-0.85) , u=0..100*I );
-3.683267279 + 1.491051126 * I

blackout

Попробуй так.
Возьми путь: отрезок A = (100*i, 100*i + T отрезок B (100*i+T, -100*i+T отрезок С (-100*i+T, -100*i отрезок D (-100*i, 100*i). Тут T - очень большое действительное число.
Интеграл по пути A + B + C + D ты вычисляешь по теореме вычетах, просто нужно вычислить вычеты в особых точках, которые попали в контур.
Интеграл по A плюс интеграл по C равен 0.
Интергал по B ты вычисляешь следующим образом. На отрезке B |u| это почти бесконечность, а у тебя в знаменателе степень u больше, чем в числителе. Длина отрезка B равна 200 - константа, так что переходя к пределу интеграл по B равен 0.
Итак, зная интегралы по A+B+C+D, A+C и B ты знаешь интеграл по D. Теперь замечаем, что если твой искомы интеграл по (0,100*i) обозначить за X, то X-X* = D, где X* - комплексное сопряжение. Итак, Im(X) = D/2. Как найти Re(X) не знаю, но наверное можно похожим образом.

KingMicha

Спасибо, попробую.

seregaohota

Функция многозначная, внутри твоего контура точки 1 и 0,85 являются точками ветвления, соответственно контур у тебя не замкнут - обойдя его ты попадёшь на другой лист - так как ты написал считать нельзя

blackout

На самом контуре особых точек нет. Из-за особых точек внутри контура интеграл по замкнутому контуру будет не 0, а сумма вычетов в особых точках, так что считать так можно. Другое дело, что сумма A+C не будет 0, тут с слажал. Можно попробовать найти другой контур.

seregaohota

Если ты сначала пройдёшь по первому этажу, потом поднимешься на 2 по винтовой лестнице и вернёшься к исходной точке, но на втором этаже, то контур нифига не замкнут и даже значения функции в исходной точке пути и в конечной будут разные - ведь они находятся на разных этажах - wikipedia/Riemann_surface
и считать как сумму вычетов нельзя Либо надо замкнуть контур - разрезать и пройтись вдоль действительной оси от 0 до 1 туда по одному краю одного этажа а обратно по другому - значения функции будут разные, либо ещё как контур замыкать обходя его например 4 раза тк внутри 2 точки ветвления 2 порядка.
Например обойди начало координат по окружности радиуса 100 функцию sqrt(z) - у тебя в одной и той же точке после 1 полного оборота значение функции сменится (в данном случае например sqrt_1(100) = 10 а sqrt_2(100)=-10) иллюстрация 1 картинка на википедии по ссылке

KingMicha

А у меня вот ещё идея появилась:
 
Посчитать через суммы Дарбу. z(0) и dz(0) известно, поэтому с знаем и можем посчитать z(u) в любой точке. Вроде так. p.s. только в формуле опечатался, не дельта z, а дельта ui.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: