Вывод уравнений лагранжа без использования вариационных принципов

CneKTP

Подскажите пожалуйста учебник(и где бы уравнения Лагранжа в системе БЕЗ СВЯЗЕЙ выводились без использования каких-либо вариационных принципов (дифференциальных или интегральных)

demiurg

Кажется, в учебнике Ольховского II рода выводится из Iго, а те из принципа Д'Аламбера (который я не помню что такое, но не вариационный).

lenmas

Как это принцип Д'Аламбера не вариационный? :grin:

CneKTP

К сожалению принцип д'Аламбера (по крайней мере в такой форме которая приведена у Голдстейна в "классической механике") относится к дифференциальным вариационным принципам: коэффициэнты (p'-F) приравниваются к нулю при соответствующих виртуальных перемещения дельта q

demiurg

Ну тебе законы ньютона нужны тогда. Уравнения Гамильтона — это ведь законы Ньютона плюс определения импульса, пройди от этого назад к Лагранжиану.

CneKTP

Уравнения Гамильтона — это ведь законы Ньютона плюс определения импульса, пройди от этого назад к Лагранжиану.
Про то что лагранжиан и гамильтониан связаны преобразованием лежандра, я знаю.
законы ньютона нужны

Да, наверное следует уточнить, что
хотелось бы увидеть в учебной литературе получение уравнения лагранжа в системе без связей из второго закона ньютона без использования вариационных принципов

demiurg

С какой целью?

CneKTP

Просто хотел посмотреть возможен ли такой переход (то есть можно ли прийти к принципу наименьшего действия без вариационной концепции) и какие тонкости при этом возникают

demiurg

Так, насколько я помню, принцип наименьшего действия для механики и получают из второго закона ньютона.

CneKTP

Ну вот собственно я и хочу увидеть где это написано. (только чтобы принципа виртуальных работ (даламбера-лагранжа в промежуточных рассуждениях не было

demiurg

А зачем тебе чтобы это было написано? В смысле, почему сам не напишешь?
Принципе наименьшего действия выводится в Петкевиче, например.

CneKTP

А зачем тебе чтобы это было написано? В смысле, почему сам не напишешь?
Сам уже написал, но в случае обобщенных координат некоторые преобразования выглядят искуственными. Вот и хочу посмотреть, как люди обосновывают то или иное преобразование. Кроме того, мне интересно, можно ли обобщить мои рассуждения на систему со связями

demiurg

Мне кажется, у тебя неверное эпистемологическое восприятие этих формальных записей.

vovatroff

Немножко не понял постановку задачи. Если на систему точек не наложены связи, то формализм Лагранжа просто автоматически сводится к уравнениям Ньютона в декартовых координатах. То есть выводить ничего в этом случае просто не надо, все уже и так есть.
Это именно для учета голономных связей вся лагранжева конструкция и нужна.
Что касается принципа наименьшего действия, то, афаик, не он следует из уравнений движения, а ровно наоборот. То есть вывести его нельзя, можно только догадаться, как его записать, чтобы при варьировании именно нужные уравнения из него получались (как и делают в других разделах физики). Более того, явный вид функции Лагранжа и действия однозначно восстановить по уравнениям движения нельзя, там произвол всегда имеется.

demiurg

Правильно, можно записать такой Лагранжиан, чтобы работал принцип наименьшего действия. Например, для СТО в 1м томе Ландавшица так и делают.
Но для частого случая классической механики можно и принцип наименьшего действия вывести из законов Ньютона, которые, как ни крути, первичны. Ибо из эксперимента.

vovatroff

Именно "вывести", не "догадаться"?
Непонятно, чем просто механика в этом смысле так уж отличается от СТО. Там и там уравнения, там и там по ним можно угадать вид функционала действия. В электродинамике тоже, кстати, тот же том Л & Л )

demiurg

Следующий том. Да, во втором томе более явно пишут, как они строят действие, чтобы получились уравнения Максвелла. А вот в первом просто "вот такой Лагранжиан даст релятивистские уравнения движения".
Для классической механики? Ну да, вывести. Ну тут все так сомневаются, что я пойду посмотрю, конечно, но...
Кстати, а разница-то есть тут? Есть уравнения, строишь такое действие, чтобы уравнения его минимизировали.

vovatroff

Ну в том смысле, что фарш обратно через мясорубку в мясо не превращается )

CneKTP

Что касается принципа наименьшего действия, то, афаик, не он следует из уравнений движения, а ровно наоборот. То есть вывести его нельзя, можно только догадаться, как его записать, чтобы при варьировании именно нужные уравнения из него получались (как и делают в других разделах физики). Более того, явный вид функции Лагранжа и действия однозначно восстановить по уравнениям движения нельзя, там произвол всегда имеется.
Голдстейн ("Классическая механика") утверждает, что в "Аналитической механике" Уиттекера приводится ВЫВОД принципа наименьшего действия из уравнений Лагранжа. то что в функции Лагранжа всегда имеется некий произвол, этому никак не мешает. В конце концов канонический импульс для соответсвующей координаты определен неоднозначно, (энергия кстати тоже :grin: ) это же не мешает нам пользоваться этими понятиями, сделав некоторые предположения относительно подобной неоднозначности

CneKTP

Если на систему точек не наложены связи, то формализм Лагранжа просто автоматически сводится к уравнениям Ньютона в декартовых координатах. То есть выводить ничего в этом случае просто не надо, все уже и так есть.
Это именно для учета голономных связей вся лагранжева конструкция и нужна.
Ну большинство авторов все-таки сходится на том, что обобщенные координаты бывают полезны и в задачах без связей ;) Во всяком случае мне ничтоо не мешает применить уравнения лагранжа в обобщенных координатах при решении даже элементарной задачи

Sergey79

Голдстейн ("Классическая механика") утверждает, что в "Аналитической механике" Уиттекера приводится ВЫВОД принципа наименьшего действия из уравнений Лагранжа
а что в этом такого? Это, по сути, просто жонглирование формулами.
Есть механика лагранжа. В ней есть принцип наименьшего действия для функции Лагранжа и соотетвтвующие уравнения для этой функции. Можно из первого вывести второе, а можно - и наоборот.
Есть реальная система со своими уравнениями движения. Если к ней применить лагранжев формализм (если он для нее применим, конечно то уравнения движения будут сформулированы в виде уравнений Лагранжа.
Теперь мы забываем о лагранжевом формализме. Нам предлагается не просто найти уравнения движения, но и с бухты-барахты записать их в некоем специфическом виде (чтобы ВНЕЗАПНО совпало по виду с уравнениями лагранжа). В чем смысл?

vovatroff

Уиттекера посмотрю при случае, спасибо за ссылку.

Lene81

Ну тебе законы ньютона нужны тогда. Уравнения Гамильтона — это ведь законы Ньютона плюс определения импульса, пройди от этого назад к Лагранжиану.
Я бы сказал лучше, что уравнения Эйлера-Лагранжа для системы без связей, записанные в декартовой системе координат, суть уравнения Ньютона

demiurg

Это не лучше, это другое справедливое утверждение.
Я-то говорил что типа сила — это минус градиет потенциальной энергии (или полной энергии, т.к. кинетическая не зависит от координат или гамильтониана, и силе же равна производная импульса (второй закон ньютона). Импульс — это производная координаты. Теперь с этим всем обратив преобразование лежандра можно перейти из формулировки гамильтона в формулировку лангранжа.

Lene81

Да я не спорил с тобой. Просто исторически первая формулировка — лагранжева. Поэтому отталкиваться от гамильтоновой, которая появилась веком позже как-то, ИМХО, не очень правильно.

demiurg

Какая разница, что появилось позже? Топикстартеру зачем-то понадобилось лагранжеву получить откуда-то.
А отталкиваемся мы тут от второго закона ньютона.

Lene81

ОК, уступить проще, чем спорить :)

demiurg

Так о чём спорить-то вообще?

Lene81

Так о чём спорить-то вообще?
С чего "правильнее" начать: с Лагранжа или Гамильтона

demiurg

Что есть "правильнее"?
Экспериментально известны законы ньютона и уравнения максвелла. А принцип наимпеньшего действия оказывается слишком удобным чтобы от него отказываться, поэтому и дальше всё записывают так, чтобы он работал.

vovatroff

Фактически, как я теперь понимаю, хочется преобразовать уравнения Ньютона от декартовых к обобщенным координатам, не вводя никаких виртуальных перемещений и не пользуясь принципом Даламбера. Если связей не наложено, то этого действительно не требуется, но сам прием работы с вариациями независимых координат - это просто один из способов такой замены переменных, полностью эквивалентный прямой замене в лоб, по-моему. И принципом наименьшего действия, наверное, здесь тоже можно пользоваться, если разобраться, как он "выводится" из законов Ньютона. В любом случае исходить надо из них, безусловно, а вот дальше уже как рассуждать и преобразования делать - дело вкуса, я считаю.

CneKTP

Нам предлагается не просто найти уравнения движения, но и с бухты-барахты записать их в некоем специфическом виде (чтобы ВНЕЗАПНО совпало по виду с уравнениями лагранжа). В чем смысл?
А в чем по твоему заключается лагранжев формализм как не в подобной записи, если система без связей (упростим ситуацию)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: