Задачка с Barclays по терверу

philnau

Вспомнил одну "задачку", которую задал Питербарг.
(X,Y) ~ N(a,B)
a = (0,0)
B = (1 r // r 1)
И спрашивается, чему равно E(X|Y).
Как думаете, что предполагалось услышать? Естественно, сразу я её не решил, лишь идеи высказал. Дома же решил с помощью плотностей, но считать там пришлось порядочно.
Может быть, есть какой-нибудь красивый метод угадывания?

Katty-e

может, я что-то подзабыл
но условное матожидание нормальной величины по нормальной величине - снова нормальная величина, причем функция от условия
поэтому
E(X|Y)=aY+b
b=E(X)=0
далее, нормальные величины независимы тогда, когда некоррелированы
E(X-aY|Y)=0, или просто a=cov(X,Y)/V(Y)=r
итого E(X|Y)=rY
вообще, если вы досчитали до конца, результат, скорее всего, был именно таким

griz_a

условное матожидание нормальной величины по нормальной величине - снова нормальная величина,

Скажем так, из совместной нормальности следует, что матожидание первой величины при условии второй нормальное
поэтому
E(X|Y)=aY+b

Вот это не слишком очевидно
E(X-aY|Y)=0, или просто a=cov(X,Y)/V(Y)=r

И это тоже. Хотя из некоторых других соображений понимаю, что вроде ответ правильный.
Не понимаю, почему через плотности считать сложно или долго, когда все такое простое :confused:

philnau

Скажем так, из совместной нормальности следует, что матожидание первой величины при условии второй нормальное
Почему это так?
 
Не понимаю, почему через плотности считать сложно или долго, когда все такое просто
Отвечать надо было что-то сразу. Лично мне тяжело всё в уме подсчитать.
 
Вот это не слишком очевидно
По мне, так вообще не ясно почему так
На самом деле я тоже такой ответ написал сначала, но позже получил другой :crazy:
Там фигурировала экспонента.
У тебя через плотность r*Y получилось?

verse3e3

в какой отдел было собеседование и какой был смысл давать такую задачку за собеседовании?

philnau

в какой отдел было собеседование и какой был смысл давать такую задачку за собеседовании?
Отдел QA.
Смысл в том, что сам Питербарг - человек умный и, скорее всего, :cn: лоботрясов он не сильно уважает. Вот и понять, кто :cn: лоботряс , а кто нет (в данном случае :cn: не лоботряс =мегарюх :grin: )

griz_a

Решение на самом деле примитивно -
Нужно только догадаться, поискать a, Z, такие, что X=aY+Z, Z - независит от Y
Z - тогда нормальное, значит надо cov(Z,Y)=0=>cov(X-aY,Y)=0, это то же, что Олег писал, только он делал много непрозрачных логических выводов, а я шел с другой стороны.
Представив же X=rY+Z имеем E(X|Y)=rY+E(Z|Y)=rY

griz_a

Нет, через плотность я и считать не стал, поскольку знал решение и так, просто знаю, что через плотности посчитать несложно.
Ответ можно было понять по одним из трех соображений:
а) догадаться поискать представление X=aY+Z, Z - независит от Y
б) зная, что в пространстве нормальных величин ковариация играет роль скалярного произведения, а условное матожидание - проекции. Это популярный факт в статистике, он нужен для многих критериев.
в) по соображениям, которые привел Олег и которые я не понял (вернее понял идейно как раз из-за б
г) приведя несложным преобразованием, сохранящим Y, вектора в независимые (далее очевидно) :)
Я догадался до а довольно быстро, но может потому, что знал б.

griz_a

Посчитал через плотности :)
E(X|Y=y)=int_{R} x p(x,y)/p(y)dx=int_{R} (x-ry) p(x,y) dx / p(y) + ry* int_{R} p(x,y)dx/p(y)=ry+0,
т.к. первый интеграл равен нулю (после замены z=(x-ry) плотность p(x,y) получается вида C(y)*e^{-z^2/2} , т.е. четная по z, значит ее матожидание 0)

Katty-e


поэтому
E(X|Y)=aY+b

Вот это не слишком очевидно

Ну, условное матожидание - это борелевская функция от условия, и можно искать в линейном виде. Если получится (а в данном случае получается) - то из единственности почти наверное условного матожидания следует, что все хорошо.
E(X-aY|Y)=0, или просто a=cov(X,Y)/V(Y)=r

И это тоже

Тут простая логика - если удается подобрать такое а, что разность не зависит от Y, то автоматически условное матожидание равно безусловному, то есть нулю.
А вообще я эту задачку уже раз пять точно решал в разных видах, так что для меня логические ходы короче :).

tatra

борелевская функция от условия, и можно искать в линейном виде.
почему можно искать в линейном виде?

griz_a

Искать-то всегда можно ;)
Если найдешь, то значит оно есть, условное м.о. ведь одно :)
А если не найдешь, то не судьба

tatra

Если найдешь, то значит оно есть, условное м.о. ведь одно
Это то да. Но где доказано что мы нашли условное матожидание, а не что-то иное.
вроде доказали только то, что если существуют такие a и Z, Z не зависит от Y, что E(X|Y)=aY+Z, то a=r и Z=0. Если не доказывать, что такое представление существует , то надо доказать, что rY является матожиданием, исходя из определения матожидания, а не нашей предпосылки.

griz_a

Не совсем, мы доказали, что X=rY+Z (потому что там все действия обратимы)
Тогда E(X|Y)=E(rY+Z|Y)=rY по свойствам условного м.о. (E(Z|Y)=0, т.к. Z и Y независимы, E(rY|Y)=0)

tatra

потому что там все действия обратимы
О, теперь понятно :) . С твоего позволения напишу твое же доказательство (но в сторону доказательства, а не угадывания ответа):
Пусть Z = X - rY. Поскольку X и Y нормальны, то Z нормально. cov(Z, Y)=cov(X,Y) - r cov(Y,Y) =0. Поскольку Z, Y нормальны, то отсюда следует, что Z и Y независимы. Тогда E(X|Y)=E(rY+Z|Y)=rY по свойствам условного м.о.

Katty-e

повторюсь
поскольку X-rY не зависит от Y (показано выше то E(X-rY|Y)=0
поскольку Y измеримо относительно Y, то E(X-rY|Y)=E(X|Y)-rY
так более понятно ?

kirawa

Вот интересно, зачем в инвест банке такие вещи считать. Вот не понимаю. Ну, в рисках могут быть аля такие задачи, но в инвест бизнесе, в который привлекают новых сотрудников, обычно это не применяется никак, специфика бизнеса иная...

olegikristina

Да вроде это не собеседование было, а так, в неформальной обстановке поддержать беседу. А вообще подобные вещи бывают нужны в QA. Меня один раз попросили вычислить матожидание какой-то случайной величины, когда я в дойче банк пришел. :)

kirawa

Это вполне нормальный вопрос. а предыдущий вопрос как-то слишком...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: