Привести пример линейного неограниченного оператора

Marina32

чё-то меня клинит- не придумывается ничего:)

greekdom

Ну а если любой интегральный с неограниченным ядром?

ilyuhin

Оператор дифференцирования

Marina32

а по какой норме он неограничен?

tigrenka29

По стандартной норме в С1[a,b]: ||f|| = max f(x a<=x<=b

justicia2008

Оператор дифференцирования не на всем C[a,b] определен. Пример неограниченного оператора в бесконечномерном пространстве строится с использованием алгебраического базиса. Просто задается A(e_n) = n * e_n. (Колмогоров-Фомин, стр 175). Например, такой формулой задается неограниченный оператор в пространстве ограниченных последовательностей.

Marina32

о, сенкс! это вот уже похоже на правду!
а откуда пример с пространством огр. послед.?

Marina32

всем по 5 за помощь!
тема закрыта

sergeymorozov

а просто оператор x (переменная)?

Vitaminka

что-то я не понял как оператор устроен?
тождественный что ли?

sergeymorozov

оператор действия на переменную х есть сама переменная х

Vitaminka

норма один

elektronik

Тогда нужно уточнить из какого пространства в какое.
Например так. Возьмём пространство l1 & l2 (подразумевается их пересечение а норму в нём как в l2, т.е. \sqrt(\sum_{i=1}^{\inf}|x_i|^2).
По сути, рассматривать пересечение l1 и l2, "бессмысленно" в некотором смысле, т.е. просто l1 вложено в l2. Но если взять норму из l2, то оно перестаёт быть полным. Действительно, можно взять последовательность последовательностей из l1, сходящуюся в норме l2 к последовательности {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}, т.е. к гармонической последовательности. Это можно сделать, скажем, так: x_n = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, 0, 0, ...}
Такие последовательности финитные, значит, из l1 (из ln для любого натурального n).
Тогда рассмотрим оператор A из l1 (как мы уже заметили, l1 & l2; с нормой l2) в l1 (с обычной нормой действующий тождественно.
Есстественный вопрос, будет ли он ограниченным?! Мой ответ- НЕТ!
Поскольку, уже расмотренная последовательность {x_i}_(i=1, 2, ...) фундаментальна в первом пространстве, но неограниченна во втором, значит, оператор A не является непрерывным, значит, он неограничен (понятия непрерывности линейных операторов и их ограниченности эквивалентны).
Этот пример, рекомендую запомнить, если вам ещё сдавать функан, поскольку он хорош тем, что является "контрпримером" к теореме Банаха (кажется). То есть этот пример показывает важность полноты пространств в этой теореме.
Кажется, она формулируется следующим образом: A \in L(L1, L2); L1, L2 - банаховы. Тогда, A^{-1} \in L(L2, L1).
Этим примером сразу можно убитть двух зайцев =)

NHGKU2

Поскольку, уже расмотренная последовательность {x_i}_(i=1, 2, ...) фундаментальна в первом пространстве, но неограниченна во втором, значит, оператор A не является непрерывным

может быть я туплю, но вот это место не очень понятно...

elektronik

Ну это же просто.
Данная последовательность (имеется ввиду {x_i}) фундаментальна в норме l2- она сходится к гармонической. Это понятно?
Более того, каждая x_i принадлежит l1, но поскольку ряд \sum_{i=1}^{\inf}\frac 1i расходится, точнее его сумма равна \inf (надеюсь понятно о чём идёт речь?! то эта последовательность в норме l1 неограничена.

NHGKU2

да, теперь все понял
невнимательно прочитал фразу
Тогда рассмотрим оператор A из l1 (как мы уже заметили, l1 & l2; с нормой l2) в l1 (с обычной нормой)

имеются в виду одинаковые пространства с разной нормой
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: