Функан задачи

narkom

) Пусть последовательность функции f_n \in L^p([0,1]) ,\| f_n \|_{L^p} < K, \forall n и \lim_{n --> \infty} \int\limits_0^{\tau} f_n(t)dt = \int\limits_0^{\tau} f(t)dt, \forall \tau \in [0,1]. Доказать, что последовательность сходится слабо.
2) И просто вопрос, если метрическое пространство компакто, то оно сепарабельно?

iri3955

По второму вопросу вроде да.
Компактно -> существует конечная $\vareps$-сеть -> базой будет объединение этик сетей для, например, $\vareps_n = 2^{-n}$.
Это если я ничего не напутал

narkom

вроде правильно говоришь. Я просто сомневался

narkom

в первом я вроде доказал, что есть сходимость почти всюду, как-нить отсюда слабая выводится?

afony

Пусть последовательность функции f_n \in L^p([0,1]) ,\| f_n \|_{L^p} < K, \forall n и \lim_{n --> \infty} \int\limits_0^{\tau} f_n(t)dt = \int\limits_0^{\tau} f(t)dt, \forall \tau \in [0,1]. Доказать, что последовательность сходится слабо.
Нужно доказать, что для любой функции g(t)\in L^q([0,1]) (1/p+1/q=1) имеем \lim_{n --> \infty} \int\limits_0^1 (f_n(t)-f(tg(t)dt = 0. По условию это верно для функций g(t) представляющих собой индикаторы отрезков [0,\tau] (\forall \tau\in [0,1] а значит и для любых конечных линейных комбинаций функций такого вида. Эти линейные комбинации плотны в L^q([0,1]) в норме ||\cdot||_q этого пространства. Пусть задано произвольное число e>0. Для заданной функции g(t) найдем линейную комбинацию g_e(t) указанных индикаторов со свойством ||g-g_e||_q<e/(3K) и натуральное число N такое, что \forall n>N имеем |\int\limits_0^1 (f_n(t)-f(tg_e(t)dt|<e/3. Тогда |\int\limits_0^1 (f_n(t)-f(tg(t)dt|=|\int\limits_0^1 (f_n(t)-f(tg_e(t)dt+\int\limits_0^1 f_n(tg(t)-g_e(tdt-\int\limits_0^1 f(tg(t)-g_e(tdt|\le |=|\int\limits_0^1 (f_n(t)-f(tg_e(t)dt|+|\int\limits_0^1 f_n(tg(t)-g_e(tdt|+|\int\limits_0^1 f(tg(t)-g_e(tdt|<e/3+e/3+e/3=e. То есть, необходимое стремление к нулю доказано.

narkom

спасибо
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: