Спектр и точечный спектр оператора сдвига

Marina32

помогите, плз, найти спектр оператора в L2
F: (x1, x2, x3...)->(x2, x3, x4...)
Заранее спасибо!

kachokslava

Точечный = единичный круг без границы.

kachokslava

точечный спектр= такие λ, что существует х: F(x)=λx
Для сдвига эти λ образуют единичный круг без границы.
для любого λ из круга можем такой х построить:
х=(1,λ,λ^2,λ^3,λ^4...) (нетрудно проверить, что этот х - собственный вектор для этого λ)
нужно ли искать другие спектры?
непрерывный, например?

kachokslava

это для левого сдвига. у правого немного хитрее

Marina32

нужно ли искать другие спектры?

непрерывный, например?
спасибо!
а просто спектр какой будет?

z731a

Замкнутый единичный круг

Marina32

а это получается из того, что спектр должен быть замкнут?

Marina32

а соб. знач у этого оператора какие, кстати?

kachokslava

Собств. значения - единичный круг без границы.
Есть три спектра
- дискретный (точечный) = множество собств. значений: Ax=λx
- непрерывный - A-λE необратим
- остаточный - уже не помню

Marina32

Есть три спектра 
- дискретный (точечный) = множество собств. значений: Ax=λx
- непрерывный - A-λE необратим
- остаточный - уже не помню
как я понимаю, остаточный -это дополнение двух других до замыкания.
а просто спектр, который состоит из всего этого вместе взятого как тут найти?

kisa72003

да.
точечный спектр (множество собственных значений)=единичный круг без границы.
весь спектр содержится в единичном круге (норма оператора сдвига=1) и замкнут.
из этих 2-х утверждений следует, что спектр=единичный круг вместе с границей (единичной окруностью)

Marina32

весь спектр содержится в единичном круге (норма оператора сдвига=1)  
вот про это-то я и забыл... Спасибо!

Marina32

я запутался слегка.
откуда получается, что соб. зн. лежат в круге?

NHGKU2

Из того, что равенство Fx = \lambda x выполнено для всех х из l_2 и \lambda таких, что |\lambda|<1:
Fx = (x_2,x_3,...)=\lambda*(x_1,x_2,... откуда получаем x_2=\lambda x_1, x_3=\lambda^2 x_1, x_4=\lambda^3 x_1 и т.д. Значит, Fx=(x_2,x_3,...)=\lambda(x_1, x_2, x_3, ...) \equiv \lambda x.

Marina32

а как найти непрерывный?
а что для оператора сдвига вправо?

NHGKU2

Непрерывный спектр - это окружность {|λ|=1}.
Докажем это. Действительно, окружность принадлежит спектру, поскольку спектр замкнут, и содержит открытый круг {|λ|<1} (точечный спектр, как уже доказано). Осталось показать, что это непрерывный спектр. По определению непрерывного спектра, для этого нужно проверить, что для каждого такого λ {замыкание Im(F-λE)} = l_2. Фиксируем λ на окружности. Имеем:
(F - λE)x = (x_2-λx_1, x_3-λx_2, ...)
Если a=(a_1, a_2, ...) - произвольный элемент l_2, то оператор F - λE переводит в него элемент (0, a_1, a_2+λa_1, ...). Тем самым, просто Im(F-λE)=l_2, и всё доказано

NHGKU2

Да, здесь ещё нужно пояснить, почему (0, a_1, a_2+λa_1, ...) принадлежит l_2. Но это довольно просто делается с помощью неравенства Коши-Буняковского (или Гёльдера)..

NHGKU2

По поводу оператора сдвига вправо: ясно, что точечный спектр пуст, осталось найти непрерывный и остаточный. Ответ там будет такой: непрерывный - {|λ|=1}, остаточный - {|λ|<1}. Идеи, как это доказать, есть, но поля [этого форума] слишком малы, чтобы вместить их
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: