[MM, Функан] Производная функции Кантора

soldatiki

Дифференцируема ли функция Кантора на [0,1] и чему равна ее производная:
1) в обычном смысле (допускаются бесконечные значения)
2) в смысле Лебега (неопр. интеграл от производной есть сама функция)
3) в обобщённом смысле (по Соболеву)

ARTi

её производная равна нулю в двоично иррациональных точках, то есть почти всюду
если брать от этой производной интеграл с переменным верхним пределом, то получится тождественный 0, поэтому на 2) ответ нет

lena1978

вроде бы интеграл Данжуа восстанавливает ее по производной
не шарю на самом деле

Vmisha

По Лебегу производной, конечно, нет. Функция Кантора - классический пример непрерывной, но не абсолютно непрерывной функции.

svetik5623190

В смысле 3 дифференцируемо всё на свете
Я имею в виду, что по Соблеву можно дифференцировать любую обобщённую функцию. Здесь результатом дифференцирования будет обобщённая функция (лин. непр. функционал на пр-ве пробных функций которая на пробную функцию действует как мера, сосредоточенная на множестве Кантора, функция распределения которой - функция Кантора Действие меры на функцию такое: интеграл по отрезку от функции по мере. Результат - число.
Эта мера не имеет плотности относительно меры Лебега на отрезке, так как сосредоточена на множестве лебеговской меры нуль.

svetik5623190

её производная равна нулю в двоично иррациональных точках, то есть почти всюду
Смешно. И с каких это пор у нас двоично-рациональные точки образуют множесто полной меры?
Множество рациональных чисел (а так же любое его подмножество, например, множество двоично-рациональных чисел) на отрезке, как и любое счётное множество в любом метрическом пространстве, имеет меру нуль относительно любой безатомной счётно-аддитивной меры на борелевской сигма-алгебре этого пространства.

ARTi

Множество рациональных чисел (а так же любое его подмножество, например, множество двоично-рациональных чисел) на отрезке, как и любое счётное множество в любом метрическом пространстве, имеет меру нуль относительно любой безатомной счётно-аддитивной меры на борелевской сигма-алгебре этого пространства.
это все, конечно, интересно, но я написал иррациональные

ARTi

и, если уж на то пошло, в троично-рациональных

svetik5623190

Ага, вижу.
Хотя вроде было написано всё-таки рациональных. Видишь ли, многие форумчане делают так: напишут какую-то ерунду, им на это указываешь, а они правят потом свой пост и получается, что сам дурак: наводишь критику непонятно на что, всё же правильно написано.
А может, я и вправду прочитал с ошибкой. Потому, что никогда не встречал такого понятия "m-ично иррациональное число". Зато на слуху понятие m-ично рационального числа, т.е. числа, представимого в виде несократимой дроби со знаменателем, равным натуральной степени m.
А что такое "m-ично иррациональное число"?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: