Задача ли по общей топологии

vunliy16

может, кто знает( ссылки на) решение такого вопроса? подскажите плиз
метризуема ли поточечная сходимость (счётных последовательностей) в пространстве всех непрерывных вещественных функций (вариант - полиномов) заданных на [0,1] .
(вопрос о неметризуемости соответствующей топологии отдельный)

vitamin8808

да вроде нет.
решение почти такое же, как и в случае сходимости почти всюду.
решение рисовать надо Ж)

edikbl

это "почти" где-нибудь в книжке видели или так, интуитивно?

Zver22

Собрался было писать ответ и понял, что не знаю вопрос :-)
Метризуемость сходимости имеет какое-либо отношение к наличию счетной базы в каждой точке? Насколько я помню, 1-я аксиома счетности для пространств поточечной сходимости не выполнена, т.е. метрики тем более быть не может.
(Вот смешно, если вру )

edikbl

Указание разумного набора сходящихся последовательностей не только не определяет топологию однозначно, но даже не гарантирует
(как в случае сходимости почти всюду для измеримых функций на прямой) наличие топологии с указанным запасом сходящихся последовательностей. Поэтому в этой задаче надо доказывать отсутствие метрики, не ссылаясь на тихоновскую либо другую знакомую топологию.

Zver22

Сорри, Энгелькинг где-то прячется.
Что такое метрика, задающая сходимость?
И что такое сходимость вообще? (Краснею до глубины пяток.)
Какие аксиомы должны быть выполнены для системы сходящихся последовательностей?

Irina_Afanaseva

> Что такое метрика, задающая сходимость?
Любая метрика задаёт топологию, а любая топология задаёт семейство сходящихся (счётных) последовательностей (а также семейство сходящихся фильтров, сем-во сх-ся направленностей (=обобщённых последовательностей.
Под сходимостью счётных последовательностей вообще имеется в виду, с буквоедской точки зрения, набор пар:
(последовательность, элемент и подразумевается, что сходятся только указанные в этом наборе последовательности,
причем каждая к стоящему с ней в паре элементу. Больше никаких требований. Когда такой набор пар указан, задается вопрос -
а не совпадает ли этот набор с набором, порождённым какой-нибудь метрикой.

Zver22

Больше никаких требований.

Это надо обдумать, но сходу поверить трудно...
(Т.е. в этом случае общее понятие сходимости становится таким же бестолковым, как общее понятие операции.)
За напоминание про все остальное спасибо.

vitamin8808

да простая задачка. Есть пример последовательности
функций которые сходятся по мере, но не сходятся почти всюду.
При помощи такой последовательности и теоремы Рисса легко
показать, что сходимость почти всюду не метризуема. (последовательность, кстати,
тоже Рисс первым придумал, кажется. Нам так Бородин говорил.)
В твоём случае надо просто функции заменить на непрерывные. Дальше всё также.

vitamin8808

да не, ну есть такое понятие как пространство со сходимостью
(обобщение топологического но там, конечно, ещё аксиомы добавляют.

Xephon

последовательность, кстати,
тоже Рисс первым придумал, кажется. Нам так Бородин говорил

вероятно, ему тоже так кто-то говорил...

vitamin8808

Ты ещё вероятность посчитай, флудерюга

Irina_Afanaseva

какую из теорем Рисса имеешь в виду? о виде сопряжённых пространств?

justicia2008

А какая из теорем Рисса

Irina_Afanaseva

-------------------------------------------
-------------------------------------------
Больше никаких требований.
-------------------------------------------
Это надо обдумать, но сходу поверить трудно...
-------------------------------------------
да нечего обдумывать, так как в постановке задачи не имелось в виду понятие "пространства сходимости", в определении которого и указываются всякие свойства. Имелось в виду то, что сказано - система называемых сходящимися зверей дана, и спрашивается, порождается ли она хоть одной метрикой

vitamin8808

о том, что из последовательности функций, сходящихся по мере, можно
выбрать подпоследовательность функций, сходящихся почти всюду.
Функции -- на пространстве с мерой.

Irina_Afanaseva

не Егорова ли она?

vitamin8808

нет
Ж
Колмогорова-Фомина почитай, хотя бы.

Irina_Afanaseva

каюсь, давно не читал - перешёл на Данфорда-Шварца, у которых среди теорем Риссов (их как минимум 2) такая не фигурирует

vitamin8808

а где ты его достал ?
или ты в боту ходишь ?

justicia2008

Ну уж раз начал, расскажи, как там теорему Рисса применять?

Irina_Afanaseva

приятель из америки привёз

vitamin8808

а у него ещё нет ?

vitamin8808

забыл написать...
эта сходимость даже не топологизируема.
вот

vitamin8808

приваты читаешь ?
А ты еще это и на ммонлайн запостил ?
А самому решить ?

Irina_Afanaseva

-------------------------
Anonymous
Unregistered
()
Re: А что такое метрика сходимости? [re: ]
14/09/2003 19:05
...Указание разумного набора сходящихся последовательностей не только не определяет топологию однозначно, но даже не гарантирует
(как в случае сходимости почти всюду для измеримых функций на прямой) наличие топологии с указанным запасом сходящихся последовательностей....
---------------------------

enthusiast
Reged: 06/11/2002
Posts: 386
Re: задачка по тффа (то ли по общей топологии) [re: Anonymous]
14/09/2003 23:02
забыл написать...
эта сходимость даже не топологизируема.
вот
-----------------------------
> а у него ещё нет ?
он мне ксерокопию дал

Irina_Afanaseva

>да простая задачка. Есть пример последовательности
>функций которые сходятся по мере, но не сходятся почти всюду.
>При помощи такой последовательности и теоремы Рисса легко
>показать, что сходимость почти всюду не метризуема. (последовательность, кстати,
>тоже Рисс первым придумал, кажется. Нам так Бородин говорил.)
>В твоём случае надо просто функции заменить на непрерывные. Дальше всё также.
Что "всё также"?
Для неметризуемости (и нетопологизируемости) сходимости "почти всюду" действительно достаточно теоремы Рисса, которая умеет выбирать из сходящейся по мере последовательности сходящуюся почти всюду.
Но нельзя выбрать сходящуюся просто всюду (а это и значит - поточечно) из последовательности непрерывных, сходящихся не везде, например кроме одной точки, к нулю. Как при этом собираешься сравнивать топологии?

Zver22

эта сходимость даже не топологизируема.

Правильно ли я понял, что речь идет о поточечной сходимости?
Ну, а топология поточечной сходимости - она какую сходимость дает? Или речь о другой какой-то сходимости?

Zver22

Имелось в виду то, что сказано - система называемых сходящимися зверей дана, и спрашивается, порождается ли она хоть одной метрикой

Тогда я, наверное, не врубаюсь в понятие "порождается".
Последовательность должна быть объявлена сходящейся (в нашем случае - когда она сходится поточечно iff она сходится в смысле метрики.
Подозреваю, но не уверен, что поточечная сходимость а) действительно порождает пространство сходимости (т.е. выполняются аксиомы, которые мне слабо вспомнить, а читать для этого, небось, надо Куратовского первый том б) эта сходимость эквивалентна (т.е. взаимно порождается) топологии поточечной сходимости, а тогда, ясное дело, неметризуема.
Я вовсе не утверждаю а) и б мне только так кажется
Ё! Эврика! Стоят рядышком и Кинг, и Куратовский. Но я в них не полезу, потому что под потолком. Не лазаю наверх в половине третьего

Irina_Afanaseva

> Последовательность должна быть объявлена сходящейся (в нашем случае - когда она сходится поточечно
> iff она сходится в смысле метрики
дан набор всех тех поточечно сходящихся последовательностей непрерывных функций, предельные функции для которых тоже непрерывны.
вопрос о метризуемости такого набора означал следующее:
спрашивается, существует ли метрика д на пространстве С наших непрерывных функций (скажем, на прямой удовлетворяющая условию:
каковы бы ни были функция ф и последовательность ф_н (н=1,2,...) из С,
ф_н сходится к ф поточечно тогда и только тогда, когда д(ф_н,ф) стремится к нулю.

Irina_Afanaseva

Проведён научный поиск
Некоторые спецы по ТФФА эту задачку знают как фольклёр, ссылок на печатный текст решения не знает никто из них.
Единственное известное им решение - без ссылок на какие бы то ни было теоремы (в т.ч. Рисса ручками, прямо из определения метрики.
Так что АвовА имеет шанс удивить народ высоконаучным подходом.
Писать тут известное мне решение сам не берусь, но вероятность его появления тут ненулевая.

vitamin8808

Сцылка на теорему Рисса была в смысле, что решать надо также.
А ещё надо сознаться :
Я слажал !
Эта сходимость неметризуема, но ТОПОЛОГИЗИРУЕМА

Irina_Afanaseva

>Сцылка на теорему Рисса была в смысле, что решать надо также.
Вопрос, как это "так же", уже звучал неоднократно.
В известном мне доказательстве неметризуемости нет ни идей, ни оценок, которые используются в доказательстве "теоремы Рисса" о выборе сходящейся п.в. подпоследовательности.
>А ещё надо сознаться :
>Я слажал !
>Эта сходимость неметризуема, но ТОПОЛОГИЗИРУЕМА
Эта - которая?
Сходимость почти всюду НЕ ТОПОЛОГИЗИРУЕМА, это задачка 5 семестра.
Сходимость поточечная, естественно, топологизируема --- например, топологией Тихонова

loscer

Excuse me Но топология поточечной сходимости метризуется , а метрика- max модуля разности значений функций в точках отрезка.

Irina_Afanaseva

не уверен - не отвечай

Irina_Afanaseva

P.S.
Келли, "Общая топология"
Энгелькинг "Общая топология"
Бурбаки "Общая топология"
тебе помогут

Zver22

Excuse me Но топология поточечной сходимости метризуется

Excuse me too - Топология поточечной сходимости - это так называемая "слабая" топология, там не всегда выполнена аксиома нормальности топологического пр-ва Т4 (непересекающиеся замкнутые мн-ва отделимы непересекающимися окрестностями с метризуемостью там в общем случае плохо.
Топология максимума модуля разности, если не вру, напротив, называется "сильной" или топологией равномерной сходимости.
В извращенных случаях это может оказаться и одна и та же топология, но не в нашем.

masy

Как раз в нашем случае ( см. первый пост - пространство С[0,1] ) поточечная сходимость совпадает с равномерной

viktor961

О, наконец добрались до истины
___________________________________________
Мехмат forever......................

vitamin8808

докажи

Daiver

Чио значит докажи?
++++++++++++++++++++++++
И полезли они снова в П.Биллингсли
"Сходимость вероятностных мер"(дополнения
например.

vitamin8808

давай, давай, объясни, с каких пор в пространстве С[0,1] поточечная
сходимость эквивалентна равномерной.
А пока ещё над этим подумай :

loscer

наводящие соображения : непрерывная функция на компакте равномерно непрерывна(Кантор)
***********************************************************
Чтобы читать книжки их тоже надо иметь- согласен

vitamin8808

ты сначала подумай, а потом отвечай

masy

ты хочешь сказать, что твой пример имеет в пределе непрерывную функцию

plugotarenko

Да. Это 1.

Zver22

Да. Это 1.
Скажем аккуратнее: в случае одной из двух топологий эта последовательность действительно сходится к единице.
Равномерно ли - вот в чем проблема.

plugotarenko

Эта последовательность сходится к единице поточечно, но неравномерно.

Zver22

Да это я анонимусу предлагал поупражняться в проверке сходимости

vitamin8808

только там не 1/2n, а 2/n.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: