Задача по комплану

lak-n-roll

подскажите пожалуйста как доказывается, что все предельные точки {cos(n)+i sin(n): n=1,2,3,...} являются точками единочной окружности

Suebaby

подскажите пожалуйста как доказывается, что все предельные точки {cos(n)+i sin(n): n=1,2,3,...} являются точками единочной окружности
если тебе действительно нужно именно это, то пожалуйста:
сами точки cos(n)+i sin(n) лежат на окружности, окружность замкнута, поэтому и предельные лежат на ней

griz_a

Ну почему других нет - понятно, модуль - непрерывная функция от компонент.
Почему все являются. Ну возьмем какое-нибудь [math]$z=cos\phi+i sin\phi$[/math]. У [math]$\phi $[/math] среди точек [math]$n mod (2\pi)$[/math] бесконечно много точек в любой окрестности, это следует из иррациональности pi

lena1978

телепат? :)

lak-n-roll

спасибо!

svetik5623190

если тебе действительно нужно именно это, то пожалуйста:
сами точки cos(n)+i sin(n) лежат на окружности, окружность замкнута, поэтому и предельные лежат на ней
Красавец! Тополог! :) Я ржал :)

Vlad128

Красавец! Тополог! :) Я ржал :)
На самом деле я удивился, что объяснил это по-другому. Напрашивается именно этот вывод. Ну они же действительно на окружности!
Хм, с другой стороны, это же действительно модуль. Алгебраисты против геометров =)

svetik5623190

Ну они же действительно на окружности!

На самом деле, автор хотел спросить, как доказать всюду плотность указанного им множества точек на окружности, но словов таких не знал.

chepa02

это не эквивалентные рассуждения
- два утверждения доказал, а - одно

Vlad128

вообще-то я понял =) Я говорю именно о путях доказательства того факта, который в итоге запросил автор в первом посте.

Vlad128

это не эквивалентные рассуждения
Все еще исполняешь?
- два утверждения доказал, а - одно
"Как вы считаете количество доказанных утверждений?"

chepa02

ну твое "Алгебраисты против геометров" вводит в заблуждение :)
"против" они могли бы быть, если бы решали одинаковую задачу
"Как вы считаете количество доказанных утверждений?"
а мы меряем в относительных единицах
смотрим сколько раз первое доказанное уместится во втором
очевидно два раза - туда и обратно :)

Vlad128

"против" они могли бы быть, если бы решали одинаковую задачу
Тем не менее вопрос в первом посте они оба решили. По-разному.

chepa02

ладно, сдаюсь :)

griz_a

На самом деле я написал так, как на мой взгляд проще понять человеку, который достаточно неподкован в математике, чтобы задать этот вопрос.

Suebaby

На самом деле я удивился, что объяснил это по-другому. Напрашивается именно этот вывод. Ну они же действительно на окружности!
Хм, с другой стороны, это же действительно модуль. Алгебраисты против геометров =)
при серьёзном противостоянии выяснится правда что замкнутость окружности ещё надо доказать
и именно через модуль :)
другое дело, что известными фактами грех не воспользоваться

svetik5623190

при серьёзном противостоянии выяснится правда что замкнутость окружности ещё надо доказать
и именно через модуль
Не обязательно через модуль. Окружность компактна как одноточечная компактификация открытого интервала, а компактное подмножество хаусдорфова топологического пространства (т.е. плоскости с обычной топологией) замкнуто.

griz_a

Осталось объяснить топикстартеру что такое компактификация и почему топологическая компакность влечет метрическую,

roof_loger

давайте без мракобесия
окружность замкнута как линия уровня непрерывной функции (модуля). а непрерывность нормы в топологии, ею порожденной, более-менее очевидна

lena1978

+ надо доказать, что точка на прямой замкнута :grin:

lena1978

какой деблоид поставил минус?
замкнутость окружности доказывается в лоб.

svetik5623190

давайте без мракобесия

Это что --- провокация? :) Тред становится всё более ржачным! :)
окружность замкнута как линия уровня непрерывной функции (модуля). а непрерывность нормы в топологии, ею порожденной, более-менее очевидна
Гулять так гулять!
Рассмотрим [math]$\mathbb{R}^2$ [/math] как топологическое векторное пространство над [math]$\mathbb{R}$ [/math]. Тогда непрерывность функции [math]$f\colon\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, f(x,y)= x\cdot x + y\cdot y$ [/math] следует из того, что [math]$\mathbb{R}^2$ [/math] ---топологическое векторное пространство над [math]$\mathbb{R}$ [/math].
Вместе с тем, очевидно, что множество [math]$\{1\}\subset\mathbb{R}$ [/math] замкнуто, поскольку его дополнение (два луча) представимо с виде объединения конечного числа элементов (этих двух лучей) открытой предбазы топологии в [math]$\mathbb{R}$ [/math].
Поскольку [math]$f$ [/math] непрерывна, а множество [math]$\{1\}$ [/math] замкнуто, то замкнуто и множество [math]$f^{-1}(\{1\})=\{(x,y)\subset\mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\}$ [/math], т.е. окружность.

svetik5623190

топологическая компакность влечет метрическую,
А что такое метрическая компакктность? Если компактность в метрической топологии, то чего тут объяснять?

svetik5623190

Господа, мы все доказывали что-то не то, потому что невнимательно прочли первый пост:
подскажите пожалуйста как доказывается, что все предельные точки {cos(n)+i sin(n): n=1,2,3,...} являются точками единочной окружности
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: