Теорема Банаха об обратном операторе

soldatiki

Формулировка: если есть линейный непрерывный оператор между двумя банаховыми пространствами, который к тому же еще и взаимно однозначен (нулевое ядро + образ - все пространство то обратный к такому оператору тоже непрерывен.
1. Привести пример нормированного пространства, которое не является полным, но, тем не менее, для всякого оператора с указанными свойствами, отображающим это пространство в любое другое нормированное (разумеется, не банахово) пространство, заключение теоремы остается верно.
2. Есть авторитетное мнение, что теорема верна при более слабых условиях на пространство-образ: достаточно, чтобы оно было бочечным (там выполнялась теорема Банаха-Штейхауса: каждое поточечно ограниченное семейство операторов равностепенно непрерывно). Кто-нибудь знает, этот факт можно где-нибудь почитать?

vokus

1. Привести пример нормированного пространства, которое не является полным, но, тем не менее, для всякого оператора с указанными свойствами, отображающим это пространство в любое другое банахово пространство, заключение теоремы остается верно.
А это как? Пусть A неполно, B - банахово, M: A->B - непрерывный оператор, явл. линейным изоморфизмом (ker M = 0, im M = B)
Тогда возьмём в А фундаментальную последовательность x_n, не имеющую предела, тогда y_n = Mx_n будет фундаментальна в B ( ||y_n - y_m|| <= ||M|| ||x_n-x_m|| следовательно, будет иметь предел y. Пусть выполнено заключение теоремы, тогда M^{-1} непрерывен, отобразим им y обратно в x \in A, и получим, что x_n -> x (||M^{-1} y_n - M^{-1} y|| <= ||M^{-1}|| ||y_n - y||). Банаховость — таки инвариант относительно топологических изоморфизмов

lenmas

По поводу второго читай Робертсона, Робертсона, а лучше Шефера. Кажется, Эдвардс еще любил такие вопросы. Ну и Данфорда, Шварца еще до кучи. Кстати, теорема Банаха справедлива не обязательно для локально выпуклых пространств. Например, Банах доказывал ее для F-пространств.

soldatiki

Банаховость — таки инвариант относительно топологических изоморфизмов
Сорри, не проснулся еще. Второе пространство должно быть только нормированным, не банаховым. Исправил пост.

soldatiki

для F-пространств
это полное метрическое векторное пространство или изоморфное ему, так вроде?

lenmas

Это полное метрическое с инвариантной метрикой линейное пространство, в котором операция умножения на скаляр раздельно непрерывна по обоим аргументам. Подробнее см. Данфорда, Шварца. Про изоморфное ему не знаю.

soldatiki

Теорема Банаха верна в пространствах Фреше (или, в другой терминологии, F-пространствах) потому, что это в точности те пространства, которые полученны как счетное произведение банаховых со стандартной в таких случаях метрикой (сумма ряда два в степени минус эн на норму в энтом пространстве и делить на единица плюс норма в энтом пространстве). Так что хорошие свойства, в частности, теорема Банаха, идут оттуда. Вообще, класс F-пространств в некотором смысле более естественный, так как замкнут относительно взятия счетного произведения (а несчетное произведение уже неметрезуемо).

lenmas

в пространствах Фреше (или, в другой терминологии, F-пространствах)
Это неверно. Читай Данфорда-Шварца. F-пространства не обязательно локально выпуклые. Пространства Фреше - локально выпуклые F-пространства.

soldatiki

Тут терминология до конца не устоялась. Хотя, Данфорд и Шварц - вполне достойный источник стандартов. Стало быть, теорема Банаха остается верной и за пределами локально выпуклых пространств - в F-пространствах. Ну тогда да, здесь рассуждения про счетные произведения не проходят.

lenmas

Да нет, утверждение про счетные произведения-то верно, но терминология употребляется часто неправильно (пространства Фреше называются F-пространствами). Этим страдают книжки типа Робертсон-Робертсона и Бурбаки. В Данфорде-Шварце и в оригинале, книжке Банаха, все называется нормально. Кстати, есть еще одна книжка классная, Келли, Намиоки и других, называется она "Линейные топологические пространства", по ней еще Колмогоров-Фомин писался в одной части, в которой доказано, что любое топологическое векторное пространство изоморфно некоторому произведению F-пространств Так что они действительно нужны.

svetik5623190

любое топологическое векторное пространство изоморфно некоторому произведению F-пространств
Интересный факт
Для пространств без базиса тоже верен?

soldatiki

ап. Если новых мыслей не будет, считаем, что собирательный персонаж F-local с задачей не справился (и все вместе во главе с покорным слугой посыпаем голову пеплом ).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: