Задачи по теории вероятностей

satyana

x_1, x_2... н.о.р. на [0, 1] сл.в.
K={k>=2: x_1>=x_2>=...x_(k-1)<x_k}
L=min{l>=2: x_1+...x_l>1}
Найти матожидания ML, MK.

sirp

Первая задача в случае любого абсолютно непрерывного распределения X_i:
P(K>n)=1/n! => P(K=n)=1/(n-1)!-1/n!=(n-1)/n! => MK=сумма по n от 2 до беск (n*(n-1)/n!)=e
Ответ на вторую задачу зависит от распределения X_i
В случае равномерного распределения у меня получилось P(L>n)=1/n!, т.е. эта величина имеет такое же распределение, как К. ML=e.
При решении опирался на гипотезу (исходя из геометрических соображений что условная плотность суммы первых n величин при условии, что она меньше либо равна 1, равна n*x^(n-1).

satyana

о, спасибо большое.

satyana

нельзя ли вторую задачу разжевать поподробнее?

satyana

Еще задачи:
X_0, X_1, .... н.о.р. дискретные случайные величины из [0,1) с шагом 0,01, то есть могут принимать значения от 0,00 до ,99
N = min(n >=1: X_n >= X_0)
Задачи:
a) Найти P(N>n | X_0=x_0)
b) Доказать, что MN=sum(1/n, n=1..100)

electricbird

вроде ж зачёты ещё не начались?

Xephon

скорее еще не закончились

satyana

матстат начался с Лагутиным =)

Afonya

a) P( N>n | X_0 = x_0) = P(X_1 < x_0)*P(X_2 < x_0)*...*P(X_n < x_0) = x_0^n .
b)MN = M( M( N | X_0 = x_0 . Найдем M( N | X_0 = x_0). Так как по предыдущему пункту P( N = n | X_0 = x_0 ) = x_0^{n-1} - x_0^n , то M( N | X_0 = x_0) = (1 - x_0)*1 + (x_0 - x_0^2)*2 + (x_0^2 - x_0^3)*3 +... = 1 + x_0 + x_0^2 +... = 1/( 1 - x_0 ).
Так как все вероятности P(X_0 = x_0) равны и равны 1/100, то MN = 1/100*\sum_{x_0} M( N | X_0 = x_0) = \sum_{x_0} 1/( 100*( 1 - x_0) что эквивалентно требуемому.

satyana

догнал, спасиб!

satyana

не мог бы ты разъяснить мне решение второй задачи из первого поста?
написал решение. Я вчера не вдумывался, а седня возникла проблема в понимании решения.

Afonya

В чем, собственно, проблема?

satyana

условная плотность суммы первых n величин при условии, что она меньше либо равна 1, равна n*x^(n-1).

Что есть условная плотность? и в чем геометрическое соображение?

Afonya

Вообще говоря, можно обойтись и без условных плотностей.
Геометрические соображения следующие: представим n-мерный куб. Рассмотрим в этом кубе векотр (X_1,X_2,...,X_n). В силу независимости и равномерности индивидуальных распределений X_i, построенный таким образом вектор будет равномерно распределен по кубу. Рассмотрим теперь условие X_1 + X_2 +...+X_n = 1. Оно образует гиперплоскость в полученном кубе и разбивающую его на 2 части, в одной из которых X_1+...+X_n < 1, в другой - больше. Легко вычислить, что объем первой = 1/(n! а в силу равномерного распределения вектора, 1/(n!) = P( X_1+...+X_n < 1 ) = P(L>n).

satyana

что-то у меня ассоциация со словом симплекс...
это оно?

Afonya

Да

satyana

спасибо огромное тебе и jacov'у !
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: