Множество всюду плотно в метрическом пространстве

tester1

тогда и только тогда когда его точки есть в каждом открытом шаре этого пространства.
Так просто, так естественно, так легко запоминается, так образно, так всё проясняет. Доказывается элементарно прямо по определениям. И почему меня этому не учили? Сейчас вот в попытке написать для студентов понятное подробное доказательство придумал этот факт и рад безмерно.
Ещё одна проливающая свет истина: последовательность точек метрического пространства фундаментальна в точности тогда, когда для каждого эпсилон>0 найдётся шар радиуса эпсилон, вне которого лежит лишь конечное число точек этой последовательности. Это я тоже придумал сам, но в 2002 году, когда учился на первом курсе. Это же так просто, так геометрично, почему этому не учат?
Из предыдущего наблюдения следует, что фундаментальная последовательность --- простейший содержательный пример вполне ограниченного множества, и в свете этого становится понятным, почему вполне ограниченность можно сформулировать в терминах фундаментальных последовательностей, ведь это общий методологический подход в математике: даём хитрое определение, потом находим простейший содержательный удовлетворяющий определению объект, потом с помощью этого объекта изучаем более сложные удовлетворяющие хитрому определению объекты.

lena1978

И почему меня этому не учили?
может быть кто-то учился хреново? мне казалось, что это основное определение, и не только для метрических пространств (только слово "шар" нужно убрать).
может стоит учебники почитать, а не удивляться вдруг открытым элементарным фактам?

tester1

Илюх, люди с кафедры общей топологии тут не репрезентативная выборка, извини. Ты ещё определение фундаментальности последовательности в топологических векторных пространствах вспомни, ага. И скажи, что вот тут и становится ясно, какую роль играет метрика в формировании метрического пространства.
Ну а то, что я учился хреново, это да, было такое. Функан, однако, сдал оба семестра на 5, и мой лектор (А.Я.Хелемский) даже в прошлом году говорил про меня в моё отсутствие, что запомнил меня как хорошего студента. Что не отменяет того факта, что функан я знаю хреново.
Оффтоп: ты ещё не ложился или уже проснулся?

lena1978

ок, глянул К-Ф, там действительно через замыкание определяется. но та же вики определяет как надо. ну что же, сейчас уже курс топологии у студентов есть.
про фундаментальность ничего не могу сказать, но по мне так факты твои не сильно хитрые. т.е. чтобы так от них переться.
уже проснулся
Но мы не спим - Нас от любви колбасит
на всю катушку, Ваня :shocked:

tester1

но та же вики определяет как надо.
нееееее, брат!
В вики "Формально говоря, A плотно в X, если всякая окрестность любой точки x из X содержит элемент из A." а надо было бы "A плотно в X, если каждое непустое открытое множество содержит элемент из A."
У меня же не говорится ни о каких окрестностях, похуй на них. Я говорю о шарах, не рассматривая их как окрестности, просто о шарах, понимаешь? Если переводить на язык общей топологии, то надо говорить просто об открытых множествах, забывая о том, что они являются чьими-то окрестностями.

lena1978

открытое множество является окрестностью каждой своей точки. я не могу про это забыть. :grin:

tester1

от то-то и оно, то-то и оно! а ты поставь себя на место студента, на место чела, который вааще ничего не знает
и который путает окрестности с эпсилон-окрестностями
и который ещё может быть запутан тем, что в некоторых книгах окрестностью точки называют всякое множество, содержащее открытое множество, содержащее эту точку

griz_a

Каждому содержательному объекту соответствует целая куча определений. Какое из них самое естественное для понимания - каждый решает сам и это очень индивидуальный вопрос.
Как говорил Миллионщиков с дифуров:
"Я считаю, что наиболее естественно определять число e как значение в единице функции, являющейся решением y'=y с начальным условием y(0)=1" :)
Если хоть чуть-чуть понимать, что такое всюду плотное множество, то сразу понятно, что то, что ты привел - эквивалентное определение.

tester1

Если хоть чуть-чуть понимать,
то и в универ ходить незачем. Мне кажется, нам на мехмате недостаёт тех, кто подробно объясняет самые простые вещи, так, чтобы они запомнились и вошли в картину мира человека. Знатоков и любителей сложных продвинутых вещей в любом крупном математическом образовательном центре обычно хватает, и эти люди - на вес золота, ибо они определяют верхнюю границу уровня образования, они дают путёвку в большую науку самым талантливым. Но также очень ценны и методисты, задающие нижнюю границу уровня образования. Те, кто своей работой обеспечивает ценность диплома мехмата, которые являются гарантом того, что человек по каждому предмету хоть базовые-то вещи запомнил надолго, даже если сдал на 3. Играть на одном поле с людьми первой категории у меня не получается - глупый слишком - но вот во второй категории мне развиваться приятно и интересно.
Кстати, а как тебе моё определение фундаментальной последовательности?

tester1

Как говорил Миллионщиков с дифуров:
"Я считаю, что наиболее естественно определять число e как значение в единице функции, являющейся решением y'=y с начальным условием y(0)=1"
А мне нравится такое определение: е - это единственное из чисел а, при которых площадь несобственного (потому что с бесконечно удалённой точкой) криволинейного треугольника, образованного положительными полуосями координат и графиком функции y = a^{-x}, равна единице.

tester1

Каждому содержательному объекту соответствует целая куча определений. Какое из них самое естественное для понимания - каждый решает сам и это очень индивидуальный вопрос.
И, на мой взгляд, лучшим специалистом является тот, кто знает этих определений для понятия как можно больше. Потому что понятие с несколькими сильно различными по форме эквивалентными определениями - это нечто вроде словаря, позволяющего перевести математическую проблему с одного диалекта на другой. А на одном из диалектов признаться в любви обычно бывает проще, чем на других.

tester1

Множество всюду плотно в метрическом пространстве тогда и только тогда, когда его точки есть в каждом открытом шаре этого пространства.
Главным (выявленным мной на данный момент) преимуществом этого определения является то, что оно делает почти очевидной теорему о том, что метрическое пространство сепарабельно в точности тогда, когда в нём выполнена вторая аксиома счётности.

scorobei42ru

Звучит хорошо, лаконично, но по мне так какая разница какими словами определять базовое понятие? Оно же быстро переходит в процессе обучения в разряд понятий, живущих в голове как раз в виде понятий, а не в словесной форме.

lena1978

Ну понятие может быть плоским в голове, а может быть объёмным. Иван тут прав, мне кажется.

griz_a

Мне не кажется, что формулировка множества эквивалентных определений как-то улучшает картину мира у изучающих предмет.
То есть если речь идет о нетривиально эквивалентных (например, топологическое и метрическое определения компакта в тех случаях, когда оба применимы то тогда понятно. А если вот таких вот, как твои, ничем ни отличающихся, то лучше, чтобы узнать какое-то определение порешать 10-15 задач, понять, как вообще всюду плотные множества\фундаментальные последовательности устроены, а когда поймешь как устроено, такие определения можно выдавать пачками

griz_a

И, на мой взгляд, лучшим специалистом является тот, кто знает этих определений для понятия как можно больше

Специалисту нужно знать как устроен объект, знания определение самих по себе - это довольно бессмысленная штука.
Тебе же в жизни мало пригодится то, что ты знаешь определение человека "Двуногое существо без перьев с ногтями" :) Это определение неиспользуемо, потому что люди не мыслят определениями.
Если ты знаешь изучаемый объект достаточно близко, то тебе вполне хватит 2-3 технических определений, а когда понадобятся такие вот, ты легко их нагенерируешь

gr_nik

С нетерпением ждём определения единичной матрицы как единицы в группе квадратных матриц размера n по умножению.

stm7543347

группе квадратных матриц размера n по умножению
Это что?

gr_nik

Как ни странно в большинстве таких определений попадаются подвохи (помните алгебру с единицей?). :)

Andrebcjsd

Кстати в википедии то же самое написано

tester1

Как ни странно в большинстве таких определений попадаются подвохи (помните алгебру с единицей?).
в большинстве? :) про алгебру с единицей я прямо писал, что я не особо в теме. здесь же всё же ситуация несколько иная

tester1

а когда поймешь как устроено, такие определения можно выдавать пачками
чтобы проверить это, предлагаю тебе привести хотя бы 2 пачки определений фундаментальной последовательности

tester1

лучше
В какой системе оценки?

MAZAFAKER

Не спится, лапшеносный? :)

griz_a

Две пачки не смогу, поскольку я, собственно, не вижу второй стороны фундаментальности. А пачку - пожалуйста
Последовательность точек a_n метрического пространства фундаментальна тогда и только тогда, когда
1) Для любого положительного расстояния найдется достаточно большой номер, что любые две точки с большими номерами удалены не более, чем на эпсилон.
2) Для любого положительного расстояния для всякого достаточно большого номера любые две точки с большими номерами удалены не более, чем на эпсилон.
3) Для любого положительного эпсилон найдется шар радиуса не больше эпсилон, содержащий все точки, кроме может быть конечного числа
4) Найдется система шаров B_n, diam(B_n)\tends 0, таких что B_n содержит a_n, a_{n+1},....
5) Найдется счетный набор вложенных открытых множеств с диаметрами, стремящимися к нулю, каждое из которых содержит соответствующий элемент последовательности.
6) Для любого r найдется конечная система шаров радиуса не более r, накрывающих нашу последовательность, из которых лишь один шар содержит бесконечное число элементов.
7) Пусть A_{i,j} - подматрица матрицы попарных расстояний между элементами последовательности, получаемая вычеркиванием первых i-1 строки и j-1 столбца. Тогда ||A_{i,j}||_{\infty} \rightarrow 0, max(i,j)\rightarrow infty :)
8) Для любого радиуса varepsilon varepsilon-окрестности всех точек последовательности, начиная с некоторой, попарно пересекаются
9) Для любого радиуса varepsilon varepsilon-окрестности всех точек последовательности, начиная с некоторой, пересекаются в одной точке
И это я только раз поступил так, как с 1) и 2). В принципе я мог бы так сделать практически со всеми определениями и получал бы нетривиальные "для слабого ничего не понимающего студента" разные определения.
Большинство, хрень какая-то, конечно, но не могу сказать, что разница между 1 и 3 больше, чем между 5 и 7, скажем :)

paoook

А мне нравится такое определение: е - это единственное из чисел а, при которых площадь несобственного (потому что с бесконечно удалённой точкой) криволинейного треугольника, образованного положительными полуосями координат и графиком функции y = a^{-x}, равна единице.
давно подозревал я, что ты извращенец. но чтоб настолько...

komBAR

Вот на хабре тоже первооткрыватели новых уникальных определений объявились
Хорошо что аккаунта там нет, а то б там наговорил бы всякого.

makei

Не студент ли это Гонобобеля? :)

tester1

Саша! Прошу прощения, что долго не отвечал, просто не было времени подумать над этим без суеты, а в суете не хотелось. То есть, я не отвечал не потому, что мне тема не интересна и не важна, а как раз наоборот.
Саша, большое тебе спасибо за труд!
Наиболее срывающим покровы (без иронии) мне показалось вот это определение...
 
7) Пусть A_{i,j} - подматрица матрицы попарных расстояний между элементами последовательности, получаемая вычеркиванием первых i-1 строки и j-1 столбца. Тогда ||A_{i,j}||_{\infty} \rightarrow 0, max(i,j)\rightarrow infty
  

...хотя оно и неверное, потому что вместо max должно быть min, иначе вместо фундаментальных последовательностей получим стационарные (т.е. такие, все члены которых одинаковы). Но это мелочи, зарытая в ошибочной формулировке идея ясна и (имхо) прекрасна.
Но также возникли и вопросы. Так, я не очень понимаю разницу между 1) и 2 а, может быть, вообще не понял 2):
 
1) Для любого положительного расстояния найдется достаточно большой номер, что любые две точки с большими номерами удалены не более, чем на эпсилон.
2) Для любого положительного расстояния для всякого достаточно большого номера любые две точки с большими номерами удалены не более, чем на эпсилон.
 

Видимо, я не понял, как именно ты поступил:
И это я только раз поступил так, как с 1) и 2).

По поводу
Две пачки не смогу, поскольку я, собственно, не вижу второй стороны фундаментальности.
вопрос такой: а в чём состоит первая сторона фундаментальности? Только не говори, что в фундаментальности :D
Вот это определение мне показалось наиболее трудноусвояемым, что ли:
 
8) Для любого радиуса varepsilon varepsilon-окрестности всех точек последовательности, начиная с некоторой, попарно пересекаются
 

Потому что мне не понятно, что поясняет это геометрическое свойство. У меня от него мозг куда-то выворачивается. Но это уже моё личное, наверное.
А вот это, увы, просто неверное определение (причём это очевидно):
 
9) Для любого радиуса varepsilon varepsilon-окрестности всех точек последовательности, начиная с некоторой, пересекаются в одной точке
 

Например, на прямой с обычной метрикой стационарная последовательность (x_n=a для всех n) фундаментальна, окрестности всех точек последовательностей совпадают, точек пересечения не одна, а континуум.
Или я за неверной формулировкой не разглядел какую-то глубокую мысль, которая была просто неудачно выражена? Или это ты меня так на вшивость проверяешь, кокотизировать решил попробовать? ;)

tester1

Вот на хабре тоже первооткрыватели новых уникальных определений объявились
Хорошо что аккаунта там нет, а то б там наговорил бы всякого.
А что, всё правильно. Никаких ошибок я не заметил. Жаль, что квалификация препода не позволила ему сразу рассказать студенту, как обстоят дела, но, с другой стороны, он всё же потом доказал эквивалентность и своей медлительностью подарил студенту неделю размышлений о прекрасном.
 
Не студент ли это Гонобобеля? :)
Нет. Но Гонобобель сам был таким студентом в своё время, как студент-автор статьи. Я тоже, участь на первом курсе, подвесил семинариста по матану примерно таким же вопросом про последовательности Коши - предложил альтернативное определение: для любого положительного эпсилон найдётся такая точка последовательности, что все точки последовательности, следующие по порядку за этой точкой, лежат в эпсилон-окрестности этой точки. Это в точности то, что студент-автор статьи предложил. Только у меня это было не в связи с зачётом, а просто я разбирался, старался понять, что к чему, искал какой-то способ понять эту самую фундаментальность. Семинарист мой не осилил ни доказать, ни опровергнуть равносильность моего определения классическому, тогда я перевёлся сначала в другую группу, где был семинарист посильнее, и с матаном вроде дело пошло на лад, но потом я выиграл у читавшего спецкурс по динамическим системам доцента спор на шоколадку по вопросу о теореме о дифференцируемости функциональной последовательности и снова стал несчастлив, и перевёлся в МГУ, на третий курс. И когда на семинаре по слупам в МГУ я проиграл шоколадку доценту в споре по наследственности некоторой комбинации аксиом отделимости в топологическом пространстве (что к слупам имеет не так много отношения, но показало мне уровень квалификации доцента вот тогда я успокоился и остановился. Понял, что здесь мне есть, чему и у кого поучиться. Вот и учусь до сих пор :)

griz_a

Но также возникли и вопросы. Так, я не очень понимаю разницу между 1) и 2 а, может быть, вообще не понял 2):

1) forall varepsilon >0 exists N: forall m, n>N |a_m-a_n|<varepsilon
2) forall varepsilon>0 exists N forall N_1>N forall m,n>N_1 |a_m-a_n|<varepsilon.
Это хрень, конечно, но формально два разных определения :)
Тут можно с кванторами долго играться, типа вот так, скажем
forall varepsilon>0 exists N,m: forall n>N |a_m-a_n|<varepsilon
вопрос такой: а в чём состоит первая сторона фундаментальности? Только не говори, что в фундаментальности

Ммм. Трудно сказать. Вот компакт в метрическом пространстве - он с одной стороны метрически компактен, а с другой стороны топологически. Это очень разные вещи и можно смотреть на него с двух ракурсов.
А вот для фундаментальной последовательности я умею только с одного ракурса заходить, хотя и могу играться с гримом как я это сделал с этими многочисленными определениями.
Например, на прямой с обычной метрикой стационарная последовательность (x_n=a для всех n) фундаментальна, окрестности всех точек последовательностей совпадают, точек пересечения не одна, а континуум.

Эм, я в слова "пересекаются в одной точке" вкладывал смысл "пересекаются" :)

tester1

А, понятно. Да, тогда получается тоже хорошее определение :) Вечно эта проблема со словом "один": то ли это "ровно один", то ли "по крайней мере, один" :)

tester1

Вот компакт в метрическом пространстве - он с одной стороны метрически компактен, а с другой стороны топологически. Это очень разные вещи и можно смотреть на него с двух ракурсов.
А вот для фундаментальной последовательности я умею только с одного ракурса заходить,
Понятия, традиционно воспринимаемые как метрические (ограниченность и вполне ограниченность множества, фундаментальность последовательности, полнота пространства, равномерная непрерывность функции) можно определять в топологических векторных пространствах, например. Там топологические свойства задаются окрестностями нуля, а потом линейная структура разносит их на всё векторное пространство. Аналогом одинакового эпсилон здесь является одинаковая окрестность нуля. Любопытно, что в метрическом пространстве шары одинакового радиуса могут состоять из различного числа точек, т.е. для всех точек одинаковое именно эпсилон, а не эпсилон-окрестности точек, а эпсилон-окрестности точек одинаковые с точки зрения метрики. А в топологических векторных пространствах все окрестности одинаковые с точки зрения линейной структуры (являются сдвигами друг друга на какой-то вектор).
Если топологическое векторное пространство метризуемо, то содержательно указанные выше определения совпадают с классическими для метрических пространств.
хотя и могу играться с гримом как я это сделал с этими многочисленными определениями.
на мой взгляд, грим это только 1 и 2. Остальные как-то проливают свет немного с разных сторон, мне кажется. По крайней мере, я прочитав их, что-то понял слегка по-новому.

griz_a

К чему был первый экскурс я не понял. Если к тому, что компакт как "множество, в котором всякая последовательность имеет предельную точку внутри множества" и компакт как "множество, у которого всякое открытое покрытие допускает выделение конечного подпокрытия" это очевидно одно и то же, то я не воспринял :)
на мой взгляд, грим это только 1 и 2. Остальные как-то проливают свет немного с разных сторон, мне кажется. По крайней мере, я прочитав их, что-то понял слегка по-новому.

Я их придумал минут за 15, вряд ли я за это время успел открыть для себя новую специфику фундаментальной последовательности :) И уж точно не считаю, что на семинарах полезно было бы давать всю эту авоську определений. На мой взгляд, это только запутало бы.

tester1

К чему был первый экскурс я не понял.
К тому, что фундаментальность последовательности можно естественным образом определить и без метрики. В случае метризуемых пространств эти определения совпадают с классическими. И в любом случае дают некоторый взгляд на фундаментальность. Это я просто отвечаю на твой вопрос о возможной другой стороне фундаментальности. Хотя не такая уж она и сильно другая, просто без метрики.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: