Как решать матричное уравнение

Soror

Задача усложнается, теперь надо для квадратных матриц решить ур-е относительно X
[math]$$AX+X^+A^++Q=0$$[/math]
Для "простоты" все матрицы действительные. Q симметричная.
Как такое свести к ур-ю Сильвестера [math]$$AX+XA^++Q=0$$[/math] чтобы впихнуть в какой-нибудь пакет?
До этого я спрашивал:
что-то я совсем забыл, как такое решается:
A + BA^+C = D, A^+ - эрм. сопр.
A, B, С - столбцы
надо найти A(D)
в голову приходят только дубовые методы рассмотреть 4 случая: A~BA^+C, A~-B(A^+)C,A>>BA^+C, A<<BA^+C
а там теорию возмущения или что-л подобное.
подскажите плз. как лучше решать такое

 

griz_a

Матрицы квадратные?

Soror

сорри, исправил

griz_a

Тогда [math]$BA^{+}C$[/math] это не столбец, а не очень правильная штука. Конечно можно строку на число умножить, но строку умножать справа на число как матрицу - это не гуд

Soror

кажется так правильно.. сорри, тороплюсь что-то

griz_a

[math]$a_i+\sum(\overline{a}_jc_j)b_i=d_i$[/math]
Отдельно записываем для вещественной части, отдельно для мнимой и решаем линейную систему
Ну или если хочется -
[math]$A+F\overline{A}=D$[/math], где [math]$F=BC^{t}$[/math]

Soror

большое спасибо! дошло наконец)

Soror

upd

Sergey79

Ну например впихнуть в пакет можно уравнение относительно Y=AX
Вроде решение получается тогда с точностью до Y'=Y+Z, где Z - произвольная антисимметричная матрица.
Может тогда можно для определенности считать Y симметричной матрицей. Тогда Y=-Q/2, X=-A^(-1)Q/2

Soror

да, конечно, другими словами [math]$$AX+X^TA^T+Q=0$$[/math] то же, что решать [math]$$Y+Y^T+Q=0$$[/math]
но от этого не легче как-то. Если бы Y была симметричной, все было бы проще.

Soror

но разбить X на симметричную и антисимметричную, кажется должно привести к двум ур-ям Сильвестера.
Спасибо, что напомнил)

griz_a

А есть понимание, что если AY симметричная, например, то мнимые части AY уничтожатся и восстановлению подлежать не будут?

Soror

я писал, что в данном случае все матрицы действительные

Soror

я сейчас пытаюсь заботать Kitagawa(1977) и что поновее: Z. Tian, C. Gu(2008) по решению ур-й Ляпунова, надеюсь разобраться и посчитать чего в матлабе (там есть ф-ция dlyap) или поискать в lapack-е

Sergey79

А чем плохо решение
X=A^(-1)*(Z-Q/2 где Z - произвольная антиэрмитова матрица?

Soror

просто мне при данных матрицах нужно решение с наперед заданной точностью, а не функциональная зависимость. А аналитически тут ничего не решить, только итерационно. Народ, как я поглядел, уже много на этих ур-ях копьев поломал. Нашел в лапаке кучу процедур на решение у-рий Сильвестера, так что, думаю, вопрос решен.

Sergey79

Мне кажется, что у твоего уравнения нет решения с наперед заданной точностью, поскольку оно определено с точностью до произвольной матрицы

Soror

Может я что-то упускаю, вот имеется ур-е [math]$$AX+X^TA^T+Q=0$$[/math], поскольку X можно разбить на сумму эрм. и антиэрм, то исходное ур-е можно решать, как систему
[math]\begin{eqnarray}\nonumber AX_1+X_1A^T+Q=0\\\nonumber AX_2-X_2A^T+Q=0 \end{eqnarray}[/math]
Каждое из ур-й решается, вроде, с наперед заданной точностью, что-то до меня не доходит, почему их одновременно нельзя точно решить?

Sergey79

Пусть X=X1+X2 - решение, которое ты в итоге получишь. Тогда Y=X+A^(-1)*Z - это будет решением?

Soror

а почему должно быть
[math]$$A^+A^{-1}Z = Z(A^{-1})^+A$$[/math]
?
про матрицу А я особо ничего не знаю, кроме того, что она квадратная

Sergey79

странное равенство, откуда ты его взял?

Soror

[math]$$A^+X+X^+A+Q^+=0$$[/math]
[math]$$A^+(X+A^{-1}Z)+(X+A^{-1}Z)^+A+Q=0$$[/math]
[math]$$A^+X+X^+A+Q + A^+A^{-1}Z+(A^{-1}Z)^+A=0$$[/math]
[math]$$A^+A^{-1}Z+(A^{-1}Z)^+A=0$$[/math]
[math]$$A^+A^{-1}Z = Z(A^{-1})^+A$$[/math]

Sergey79

А причем здесь эти уравнения? Ведь изначально шла речь про другое уравнение.

Soror

да, точно, ты прав, не туда подставил :o , уже на бумаге столько вариантов получилось, что все перепутал.
Тогда выходит решение не уникально.. и что теперь делать :confused:
Вроде каждое из ур-й имеет уникальное решение при определенных постоянных, и число у-рий равно числу неизвестных, хотелось бы как-нибуль доказать, что система имеет все-таки одно решение, только из твоего аргумента все наоборот..

Sergey79

число у-рий равно числу неизвестных
Посмотри внимательно на первое уравнение:
Неизвестные - это матрица X размером n*n штук независимых элементов. А Известные - это симметричная матрица Q, содержащая только n*(n+1)/2 независимых элементов. То есть у тебя известных меньше чем неизвестных - на n(n-1)/2 штук - то есть как раз на произвольную антисимметричную матрицу Z.

Sergey79

и что теперь делать
решать какое-нибудь другое уравнение.

Soror

да, теперь понял, следовало раньше догадаться :o
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: