Посчитать интеграл

Marina32

Интеграл от 0 до \inf+ ф-ии exp(i*t^2). ответ знаю: (1+i)*(pi/8)^(1/2)
посчитать никак не могу... кто поможет?
за любые советы и предложения благодарен!

Petrovich40

с помощью вычетов не пробовали?

Marina32

а как этот интеграл посчитать с п-ю вычетов?

pita

Делай замену переменных y = sqrt(-i)t - сведётся к табличному.

Petrovich40

не нашел подходящего следствия из леммы жордана с правилом вычисления именно такого типа интегралов. но действительно, наверно, можно сделать формальную замену (немного отличную от предложенной панцерем). правда, мой ответ в sqrt(2) раз больше твоего. фиг знает!
(советую выписывать на лист бумаги, чтобы разобраться в этих дебрях.)
Int [0, +inf] exp(it^2) dt = 1/2 Int [-inf, +inf] exp(it^2) dt = sqrt(i)/2 Int [-inf, +inf] exp[-(t/sqrt(i^2] d[t/sqrt(i)] = sqrt(i) sqrt(pi)/2 = (1 + i) sqrt(pi)/2
где использовалось, что:
Int [-inf, +inf] exp(-x^2) dx = sqrt(pi)
sqrt(i) = sqrt[exp(i (pi/2 + 2*pi*n] = exp[i (pi/4 + pi*n)] = { (1 + i (-1 - i) }, n - целое.
где ж ошибка?

NHGKU2

Этот пример подробно разобран в книге Маркушевич А.И. "Краткий курс теории аналитических функций", советую посмотреть там (гл. V, п. 6).

vvasilevskiy

Так это кажется интеграл Френеля

Marina32

спасибо!
а как параграф и глава назы-ся? в сетке только "Теория ан. ф-й" Маркушевича есть.

NHGKU2

Глава V: Интегрирование функций комплексного переменного.
п. 6: Применение к вычислению определенных интегралов.
подп. 1. Интегралы Френеля.
Сейчас посмотрю, есть ли это в "Теории ан. ф-й" Маркушевича..

NHGKU2

Нашёл: в книге Маркушевич, "Теория аналитических функций", т.1, гл. 3, § 2, п. 2.4.

Marina32

нашел, спасибо огромное!

Marina32

в Маркушевиче такой же, как у меня, ответ...

Petrovich40

ну вот и прекрасно. значит, то было фигней.

Petrovich40

и тут же нашел у себя ошибку!
sqrt(i) = sqrt[exp(i (pi/2 + 2*pi*n] = exp[i (pi/4 + pi*n)] = { (1 + i)/sqrt(2), (-1 - i)/sqrt(2) }
действительно, к примеру: exp(i pi/4) = cos (pi/4) + i sin (pi/4) = (1 + i)/sqrt(2).
значит, и ответы сходятся!

Marina32

тебе тоже спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: