Математическая программа М.Вербицкого

Rumata

Нашел в инете интересный документ - программу математического образования для будущих математиков, написанную Михаилом (Мишей) Вербицким. Оригинал находится по адресу http://glossary.itep.ru/KaVe/curriculum1.htm там же находятся комментарии. Она мне кажется интересной тем, что дает ценностную ориентацию в математике альтернативную той, которая принята сейчас на мехмате. Лично я не могу согласиться с авторскими утверждениями типа "Математика лишь постольку интересна, поскольку она связана со струнной теорией [...]". Хотя как позитивная программа - что полезно знать помимо университетской программы - она заслуживает внимания, ИМХО. Как говорится, "Учите все - потом увидите: ничего не было лишним" (с) каноник Хью, Англия, кажется X век
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Математическая программа должна быть устроена так:
Школьная программа (экзамен Матшкольник)
Евклидова геометрия, комплексные числа, скалярное умножение, неравенство Коши-Буняковского. Начала квантовой механики (Кострикин-Манин). Группы преобразований плоскости и пространства. Вывод тригонометрических тождеств. Геометрия на верхней полуплоскости (Лобачевского). Свойства инверсии. Действие дробно-линейных преобразований.
Кольца, поля. Линейная алгебра, конечные группы, теория Галуа. Доказательство теоремы Абеля. Базис, ранг, определители, классические группы Ли. Сечения Дедекинда. Определение поля вещественных чисел. Определение тензорного произведения векторных пространств.
Теория множеств. Лемма Цорна. Вполне упорядоченные множества. Базис Коши-Гамеля. Теорема Кантора-Бернштейна. Несчетность множества вещественных чисел.
Метрические пространства. Теоретико-множественная топология (определение непрерывных отображений, компактность, собственные отображения). Счетная база. Определение компактности в терминах сходящихся последовательностей для пространств со счетной базой. Гомотопии, фундаментальная группа, гомотопическая эквивалентность.
p-адические числа, теорема Островского, умножение и деление p-адических чисел в столбик
Дифференцирование, интегрирование, формула Ньютона-Лейбница. Дельта-эпсилон формализм, лемма о милиционере.
Первый курс
Анализ на $R^n$. Дифференциал отображения. лемма о сжимающем отображении. Теорема о неявной функции. Интеграл Римана и Лебега. ("Анализ" Лорана Шварца, "Анализ" Зорича, "Задачи и теоремы из функ. анализа" Кириллова-Гвишиани)
Гильбертовы пространства, банаховы пространства (определение). Существование базиса в гильбертовом пространстве. Непрерывные и разрывные линейные операторы. Критерии непрерывности. Примеры компактных операторов. ("Анализ" Лорана Шварца, "Анализ" Зорича, "Задачи и теоремы из функ. анализа" Кириллова-Гвишиани)
Гладкие многообразия, субмерсии, иммерсии, теорема Сарда. Разбиение единицы. Дифференциальная топология (Милнор-Уоллес). Трансверсальность. Степень отображения как топологический инвариант.
Дифференциальные формы, оператор де Рама, теорема Стокса, уравнение Максвелла электромагнитного поля. Теорема Гаусса-Остроградского как частный пример.
Комплексный анализ одного переменного (по книге Анри Картана либо первому тому Шабата). Контурные интегралы, формула Коши, теорема Римана об отображениях из любого односвязного подмножества $C$ в круг, теорема о продолжении границ, теорема Пикара о достижении целой функцией всех значений, кроме трех. Многолистные функции (на примере логарифма).
Теория категорий, определение, функторы, эквивалентности, сопряженные функторы (Маклэйн, Categories for working mathematician, Гельфанд-Манин, первая глава).
Группы и алгебры Ли. Группы Ли. Алгебры Ли как их линеаризации. Универсальная обертывающая алгебра, теорема Пуанкаре-Биркгоффа-Витта. Свободные алгебры Ли. Ряд Кэмпбелла-Хаусдорфа и построение группы Ли по ее алгебре (желтый Серр, первая половина).
Второй курс
Алгебраическая топология (Фукс-Фоменко). Когомологии (симплициальные, сингулярные, де Рама их эквивалентность, двойственность Пуанкаре, гомотопические группы [от себя () добавлю еще книгу Ботт, Ту "Дифференциальные формы в алгебраической топологии"]. Размерность. Расслоения (в смысле Серра спектральные последовательности (Мищенко, "Векторные расслоения..."). Вычисление когомологий классических групп Ли и проективного пространства.
Векторные расслоения, связность, формула Гаусса-Бонне, классы Эйлера, Черна, Понтрягина, Штифеля-Уитни. Мультипликативность характера Черна. Классифицирующие пространства ("Характеристические Классы", Милнор и Сташеф).
Дифференциальная геометрия. Связность Леви-Чивита, кривизна, алгебраическое и дифференциальное тождество Бьянки. Поля Киллинга. Кривизна Гаусса двумерного риманова многообразия. Клеточное разбиение пространства петель в терминах геодезических. Теория Морса на пространстве петель (по книге Милнора "Теория Морса" и Артура Бессе "Эйнштейновы Многообразия"). Главные расслоения и связности в них.
Коммутативная алгебра (Атья-Макдональд). Нетеровы кольца, размерность Крулля, лемма Накаямы, адическое пополнение, целозамкнутость, кольца дискретного нормирования. Плоские модули, локальный критерий плоскости.
Начала алгебраической геометрии. (первая глава Хартсхорна либо Шафаревич либо зеленый Мамфорд). Афинное многообразие, проективное многообразие, проективный морфизм, образ проективного многообразия проективен (через результанты). Пучки. Топология Зариского. Алгебраическое многообразие как окольцованное пространство. Теорема Гильберта о нулях. Спектр кольца.
Начала гомологической алгебры. Группы Ext, Tor для модулей над кольцом, резольвенты, проективные и инъективные модули (Атья-Макдональд). Построение инъективных модулей. Двойственность Гротендика (по книжке Springer Lecture Notes in Math, Grothendieck Duality, номера примерно 21 и 40).
Теория чисел; локальные и глобальные поля, дискриминант, норма, группа классов идеалов (синяя книжка Касселса и Фрелиха).
Редуктивные группы, системы корней, представления полупростых групп, веса, форма Киллинга. Группы, порожденные отражениями, их классификация. Когомологии алгебр Ли. Вычисление когомологий в терминах инвариантных форм. Сингулярные когомологии компактной группы Ли и когомологии ее алгебры. Инварианты классических групп Ли. (желтый Серр, вторая половина; Герман Вейль, "Инварианты классических групп"). Конструкции специальных групп Ли. Алгебры Хопфа. Квантовые группы (определение).
Третий курс
К-теория как когомологический функтор, периодичность Ботта, алгебры Клиффорда. Спиноры (книжка Атьи "К-Теория" либо А.С.Мищенко "Векторые расслоения и их применение"). Спектры. Пространства Эйленберга-Маклейна. Бесконечнократные пространства петель (по книжке Свитцера либо желтой книжке Адамса либо Адамса "Lectures on generalized cohmology", 1972).
Дифференциальные операторы, псевдодифференциальные операторы, символ, эллиптические операторы. Свойства оператора Лапласа. Самосопряженные операторы с дискретным спектром. Оператор Грина и приложения к теории Ходжа на римановых многообразиях. Квантовая механика. (книжка Р.Уэллса по анализу либо Мищенко "Векторые расслоения и их применение").
Формула индекса (Атья-Ботт-Патоди, Мищенко формула Римана-Роха. Дзета-функция оператора с дискретным спектром и ее асимптотики.
Гомологическая алгебра (Гельфанд-Манин, все главы проме последней). Когомологии пучков, производные категории, триангулированные категории, производный функтор, спектральная последовательность бикомплекса. Композиция триангулированных функторов и соответствующая спектральная последовательность. Двойственность Вердье. Формализм шести функторов и превратные пучки.
Схемная алгебраическая геометрия, схемы над кольцом, проективные спектры, производные функции, двойственность Серра, когерентные пучки, замена базы. Собственные и отделимые схемы, валюативный критерий собственности и отделимости (Хартсхорн). Функторы, представимость, пространства модулей. Прямые и обратные образы пучков, высшие прямые образы. При собственном отображении высшие прямые образы когерентны.
Когомологические методы в алгебраической геометрии, полунепрерывность когомологий, теорема Зариского о связности, теорема Штейна о разложении.
Кэлеровы многообразия, теорема Лефшеца, теория Ходжа, соотношения Кодаиры, свойства оператора Лапласа (нулевая глава главы Гриффитса-Харриса, понятно изложена в книжке Андре Вейля "Кэлеровы многообразия"). Эрмитовы расслоения. Линейные расслоения и их кривизна. Линейные расслоения с положительной кривизной. Теорема Кодаиры-Накано о занулении когомологий (Гриффитс-Харрис).
Голономии, теорема Амброза-Зингера, специальные голономии, классификация голономий, многообразия Калаби-Яу, гиперкэлеровы, теорема Калаби-Яу.
Спиноры на многообразии, оператор Дирака, кривизна Риччи, формула Вейценбека-Лихнеровича, теорема Бохнера. Теорема Богомолова о разложении многообразий с нулевым каноническим классом (Артур Бессе, "Эйнштейновы многообразия").
Когомологии Тэйта и теория полей классов (Касселс-Фрелих, синяя книжка). Вычисление фактора группы Галуа числового поля по коммутанту. Группа Брауэра и ее приложения.
Эргодическая теория. Эргодичность бильярдов.
Комплексные кривые, псевдоконформные отображения, пространства Тейхмюллера, теория Альфорса-Берса (по книжке Альфорса тоненькой).
Четвертый курс.
Рациональный и проконечный гомотопический тип Нерв этального покрытия клеточного пространства гомотопически эквивалентен его проконечному типу. Топологическое определение этальных когомологий. Действие группы Галуа на проконечном гомотопическом типе (Сулливан, "Геометрическая топология").
Этальные когомологии в алгебраической геометрии, функтор сравнения, гензелевы кольца, геометрические точки. Замена базы. Любое гладкое многообразие над полем локально в этальной топологии изоморфно $A^n$. Этальная фундаментальная группа (Милн, обзор Данилова из ВИНИТИ и SGA 4 1/2, первая статья Делиня).
Эллиптические кривые, j-инвариант, автоморфные формы, гипотеза Таниямы-Вейля и ее приложения к теории чисел (теорема Ферма).
Рациональные гомотопии (по последней главе книжки Гельфанда-Манина либо статье Гриффитса-Моргана-Длиня-Сулливана). Операции Масси и рациональный гомотопический тип. Зануление операций Масси на кэлеровом многообразии.
Группы Шевалле, их образующие и соотношения (по книжке Стейнберга). Вычисление группы K_2 от поля (Милнор, Алгебраическая К-Теория).
Алгебраическая К-теория Квиллена, $BGL^+$ и $Q$-конструкция (обзор Суслина в 25-м томе ВИНИТИ, лекции Квиллена - Lecture Notes in Math. 341).
Комплексные аналитические многообразия, когерентные пучки, теорема Ока о когерентности, теорема Гильберта о нулях для идеалов в пучке голоморфных функций. Нетеровость кольца ростков голоморфных функций, теорема Вейерштрасса о делении, подготовительная теорема Вейерштрасса. Теорема о разветвленном накрытии. Теорема Грауэрта-Реммерта (образ компактного аналитического пространства при голоморфном морфизме аналитичен). Теорема Хартогса о продолжении аналитической функции. Многомерная формула Коши и ее приложения (равномерный предел голоморфных функций голоморфен).
Пятый курс
Теория Кодаиры-Спенсера. Деформации многообразия и решения уравнения Маурера-Картана. Разрешимость Маурера-Картана и операции Масси на DG-алгебре Ли когомологий векторных полей. Пространства модулей и их конечномерность (см. лекции Концевича, либо собрание сочинений Кодаиры). Теорема Богомолова-Тиана-Тодорова о деформациях Калаби-Яу.
Симплектическая редукция. Отображение моментов. Теорема Кемпфа-Несс.
Деформации когерентных пучков и расслоений в алгебраической геометрии. Геометрическая теория инвариантов. Пространство модулей расслоений на кривой. Стабильность. Компактификации Уленбек, Гизекера и Маруямы. Геометрическая теория инвариантов это симплектическая редукция (третье издание Геометрической Теории Инвариантов Мамфорда, приложения Фрэнсис Кирван).
Инстантоны в четырехмерной геометрии. Теория Дональдсона. Инварианты Дональдсона. Инстантоны на кэлеровых поверхностях.
Геометрия комплексных поверхностей. Классификация Кодаиры, кэлеровы и некэлеровы поверхности, схема Гильбертя точек на поверхности. Критерий Кастельнуово-Энриквеса, формула Римана-Роха, неравенство Богомолова-Мияока-Яу. Соотношения между численными инвариантами поверхности. Эллиптические поверхности, поверхность Куммера, поверхности типа K3 и Энриквеса.
Элементы программы Мори: теорема Каваматы-Фивега об обращении в ноль, теоремы о свободе от базисных точек, теорема Мори о конусе (Клеменс-Коллар-Мори, "Многомерная комплексная геометрия", плюс не переведенные Коллар-Мори и Кавамата-Матсуки-Масуда).
Стабильные расслоения как инстантоны. Уравнение Янг-Миллса на кэлеровом многообразии. Теорема Дональдсона-Уленбек-Яу о метриках Янг-Миллса на стабильном расслоении. Ее интерпретация в терминах симплектической редукции. Стабильные расслоения и инстантоны на гиперкэлеровых многообразиях; явное решение уравнения Маурера-Картана в терминах оператора Грина.
Псевдоголоморфные кривые на симплектическом многообразии. Инварианты Громова-Уиттена. Квантовые когомологии. Зеркальная гипотеза и ее интерпретации. Структура группы симплектоморфизмов (по статье Концевича-Манина, книжке Полтеровича "Симплектическая геометрия", зеленой книжке о псевдоголоморфных кривых и запискам лекций МакДафф и Саламона).
Комплексные спиноры, уравнение Зайберга-Уиттена, инварианты Зайберга-Уиттена. Почему инварианты Зайберга-Уиттена равны инвариантам Громова-Уиттена.
Гиперкэлерова редукция. Плоские расслоения и уравнение Янг-Миллса. Гиперкэлерова структура на пространстве модулей плоских расслоений (Хитчин-Симпсон).
Смешанные структуры Ходжа. Смешанные структуры Ходжа на когомологиях алгебраического многообразия. Смешанные структуры Ходжа на мальцевском пополнении фундаментальной группы. Вариации смешанных структур Ходжа. Теорема о нильпотентной орбите. Теорема об $SL(2)$-орбите. Близкие и исчезающие циклы. Точная последовательность Клеменса-Шмида (по красной книжке Гриффитса "Transcendental methods in algebraic geometry").
Неабелева теория Ходжа. Вариации структур Ходжа как неподвижные точки $C^*$-действия на пространстве модулей расслоений Хиггса (диссертация Симпсона).
Гипотезы Вейля и их доказательство. L-адические пучки, превратные пучки, автоморфизм Фробениуса, его веса, теорема о чистоте (Beilinson, Bernstein, Deligne, плюс Делинь, Гипотезы Вейля II).
Количественная алгебраическая топология Громова, (по книжке Громова "Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces"). Метрика Громова-Хаусдорфа, прекомпактность множества метрических пространств, гиперболические многообразия и гиперболические группы, гармонические отображения в гиперболические пространства, доказательство теоремы Мостова о жесткости (два компактные кэлеровы многообразия, накрываемые одним и тем же симметрическим пространством X отрицательной кривизны, изометричны, если их фундаментальные группы изоморфны, а dim X > 1).
Многообразия общего типа, метрики Кобаяши и Бергмана, аналитическая жесткость (Сиу).

Rumata

Почему эта программа такая, а не другая?
Мне не кажется, что все области математики одинаково ценные; я уверен, что самоценности математика сама по себе не имеет. Иначе математика оказывается своего рода сложной интеллектуальной игрой, и мы оказываемся в области, обозначенной Германом Гессе ("Игра в бисер" где никаких критериев нет вообще - кроме оценки профессионального сообщества. А профессиональное сообщество, что и скрывать, одновременно и коррумпировано, и разобщено. Профессиональное сообщество математиков не имеет единого критерия, а если бы и имело его, это было бы только хуже, наверное, потому что он был бы основан на невнятных властных играх по принципу ты почеши мне, а я почешу тебе, а ля академия наук.
Тем не менее, какие-то области математики претерпевают вполне очевидный расцвет. Ю.И.Манин заметил в конце 1980-х, что 1960-е было 10-летием расцвета для алгебраической топологии, 1970-е - для алгебраической геометрии, 1980-е - для математической физики. В этом смысле, 1980-е длятся до сих пор. Математические идеи, связанные с 1990-ми (зеркальная гипотеза, инварианты Громова-Уиттена, инварианты Зайберга-Уиттена, квантовые когомологии) все происходят из струнной геометрии.
Я думаю, что это не случайно. Математика утеряла общие критерии, потеряв общий контекст; в настоящий момент, гораздо меньше людей понимают, что происходит в науке в целом, чем 20 лет назад, и еще меньше, чем 40 лет назад. В условиях потери абстрактных критериев, единственно эффективным критерием становится утилитарный. Математика лишь постольку интересна, поскольку она связана со струнной теорией; это базовое предположение, которое я не хочу сейчас обсуждать. Релевантность для физики это единственный критерий, который у нас остался; а почти вся математика, относящаяся к физике, относится к струнной геометрии. Этот тезис хорошо подтверждается наблюдением, приведенным выше: (почти) все интересные идеи последних 20 лет связаны с физикой струн.
Желающие следить за математикой (в том смысле, в котором это слово понимается выше) приглашаются на сервер http://arxiv.org, где почти все интересные работы по математикe выкладываются сразу после их написания.
Выше приведенная математическая программа нужна именно для этого. Конечно, не все работы в http://arxiv.org будут немедленно понятны, даже и студенту, сдавшему все экзамены; но объяснить ему, в чем дело, можно будет за полчаса.
Можно, конечно, заниматься математикой и не понимая общего контекста, в котором она существует; но подобные занятия, на мой взгляд, еще больше разрушают общий контекст, тем самым усугубляя размывание критериев, невежество и коррупцию, которые и без того доминируют. Неграмотные занятия профессиональной математикой приносят больше вреда, чем пользы; всех статей все равно никто не прочтет, а большинство статей вообще никто не читает. Написание еще одной бессмысленной статьи затрудняет доступ к статьям осмысленным; в этом смысле, математика 20-30 лет назад была гораздо более внятной и осмысленной наукой, чем сейчас. Наступит такой момент, когда "прогресс" в математике просто остановится, и каждая новая статья будет повторять результаты, уже доказанные кем-то в одной из непрочтенных и забытых статей. Во многих областях науки, такая ситуация имеет место уже сейчас.
Математическое образование в России
Математического образования в России нет.
Я уже 6 лет читаю учебные курсы и лекции в Независимом Университете; общая польза, принесенная этими курсами кому бы то ни было, практически нулевая; по крайней мере студентам-математикам пользы не было никакой. Я буду заниматься этим и дальше, но занятие это очевидно бессмысленное.
Мои скромные педагогические способности тут не при чем; будь я даже и Оскаром Зариски напополам с профессором Яу, у меня ничего не вышло бы. За эти 6 лет я не видел в Москве ни одного студента, который доучился бы до состояния, позволяющего вести научную работу (я видел довольно много хороших молодых ученых - Стефан Немировский, например - но учились они где-то в другом месте; я не знаю где, но точно не у нас). Единственная функция Независимого Университета - поставлять кадры для американских аспирантур; но и с ней он справляется, в последнее время, крайне плохо, поскольку интеллектуальный фонд истощился до полного опустошения и кердыка.
Исторически, в России имели место две параллельные образовательные системы; одна из них - университетская - за 5 лет худо-бедно давала знания, которые следует иметь студенту первого года обучения; она дополняла этот материал абсолютно бессмысленным концептуальным и вычислительным баластом и просто откровенным бредом (учебник Камынина помните?). Даже те знания, которые давались университетской программой, давались ей в виде мало-осмысленных вычислительных рецептов, и в результате понимание студентом сути вещей только затруднялось. Университетская программа выпускала не математика, а калеку, который математикой не мог заниматься уже никогда; если кто-то в результате и становился математиком, то только вопреки тому, чему его учили, а не благодаря этому.
Вторая программа была альтернативой, созданной Гельфандом, Маниным и иже с ними вокруг матшкол, Керосинки и семинаров Гельфанда и Манина; студент, попавший в эту структуру, к 3-4 курсу усваивал материал, соответствующий второму-третьему году обучения математике (в смысле выше приводимой программы). Потом он оказывался в состоянии, которое Гельфанд охарактеризовал как бег за трамваем в попытках вскочить на его подножку; ни владения текущей литературой, ни возможности в ней ориентироваться программа Гельфанда и Манина не давала (да и библиотек, доступных студенту Керосинки, не было). Курсов, соответствовавших текущему состоянию науки, на мех-мате не читалось, кроме Манина, который избирал одну определенную область и год-два ею занимался; выпуская каждый раз 3-5 студентов, которые с тех пор и до самой смерти занимаются именно этим.
Гельфанд учил, что, чтобы таки допрыгнуть до трамвая, надо ходить на семинары, заведомо непонятные, и самостоятельно пытаться разобраться в том, что там происходит. Именно таким образом люди (кому повезет) осваивали материалы года обучения с третьего по пятый мною обозначенной программы (материал пятого года, конечно, тогда не весь существовал; вместо него были модули Верма и ББГ-резольвента, сейчас, видимо, неактуальные).
В последние 10 лет ситуация отчасти параллельна мною описанной. Имеются две конкурирующие программы: университетская (которая с 1980-х не изменилась, а только сократилась немного - скажем, спектральные последовательности в ней были, а сейчас их нет и альтернативная, которой занимаются в Независимом Университете и в ИТЭФе.
Но есть существенная разница - люди, которые понимают о чем идет речь в математической литературе (типа, в http://arxiv.org) в основном уехали; в результате, охват альтернативной системы сократился с середины третьего года обучения по Гельфанду и Манину до середины второго. При этом никаких ориентиров в плане дальнейшего самообразования студент не получает. Колоссальный барьер между обучением на студенческих семинарах и чтением научной литературы, который требовалось преодолевать самообразованием, увеличился с 2 лет до 4 и стал непреодолим. Вместо пропасти, второй край которой отчасти просматривается, мы имеем черную дыру, которая поглощает каждого, кто к ней приблизится.
У нас нет учебных заведений, где мою программу обучения можно было бы использовать; но смысл в ней тем не менее есть. Смысл ее - в установлении приоритетов и ориентиров. Конечно, нет у нас студентов, которые в школе учат теорию Галуа и гомотопическую топологию, а на втором курсе постигли классифицирующие пространства и характеристические классы. Не то чтобы их не может быть в принципе - во времена семинаров Гельфанда и Манина такие студенты были - но факт состоит в том, что сейчас их нет; и не будет никогда, если интеллектуальный климат останется таким, как сейчас, и если мы не приложим усилий к его изменению. Программа, мною выше приведенная - есть не данность, а идеал, к которому необходимо стремиться.
Студенту, если он хочет чему-нибудь выучиться, полезно время от времени поглядывать на описанный куррикулум; и сообразовать свое обучение с этой программой. Иначе кердык.

Rumata

Я бы вставил в программу, что имеется в виду, что параллельно с ней человек должен уметь и знать стандартный мехматский курс - матан, ангем, линейка, функан, урматы, дифуры, вариационное исчисление, механика.
Также вставил бы замечание что хотя это не нужно для проф. занятий математикой, но желательно в качестве общекультурного развития знать немного логики - теорема Геделя, немного вычметодов, тервера-статистики-случ. проц. и возможно дискретной математики. (человек который без понятия о предельных теоремах - ....)
Также математик должен знать немного физики - механика, теория поля, квантовая механика, статы, квантовая теория поля. Что тоже просто буквально входит в мехматскую программу.
Что касается замечаний о самой программе, то
1) симплектическая редукция ( как и вообще азы гамильтновой мехники) - это первый второй курс, а не пятый.
2) Римановы поверхности: теорема Римана-Роха, теорема Абеля, соотношения Римана, тета-функции, теорема Римана о нулях тета функции, формула Матвеева-Итса, теорема Торелли, формулировка теоремы Белого, формулировка проблемы Шотки, уравнение Пикара-Фукса
(Это 1-2 курс)
3) D-modules - вставить хотя бы к извращенным [превратным - ] пучкам.
4) Алгебры Каца-Муди и их представления.
Вообще теория представлениий групп там не очень представлена, если расшифровать одну фразу у Миши "теория представлений простых групп" (Казимиры, Клебши, модули Верма, БГГ, Каждан-Люстиг, Борель Вейль, метод орбит, короче книги Ленга SL_2(R) , книги Кириллова и Вити Гинзбурга, ) то получится программа не меньше Мишиной
5) Дзета-функции. Основные виды - арифметические, автоморфные, Сельберга, Ихары (для графов Рюэля (динамические). Основной набор гипотез для них всех: аналитическое продолжение, функциональное уравнение, гипотеза о нулях, геометрическая интепретция порядков полюсов (гипотезы Берча-Свинертона-Дайера, Бейлинсона "Явные формулы" = "формула следа Сельберга", гипотеза о статистике нулей, когомологическая интерпретация дзета-функции как характеристического полинома для оператора Фробениуса, Лапласа, Денингера (- в зависимости от вида дзета)
Факультативно: интепретация дзета-функций как матриц рассеяния (Фаддеев, Чехов, Капранов и др. связь с квантовыми группами (Капранов).
6) Спектральная теория - формула Вейля о порядке роста собственных значений, ее уточнения (и гипотезы формула Дуйстремата, Гиемана - связь спектра и характеристик, связь с теоремой Римана-Роха (Буту-де Монвиль) понятие об обратных задачах (уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко ну и вообще спектральная теория - опять же целая еще программа (новые достижения, см. сем. Бурбаки, обзор Синая-Минлоса в УМН за 2000, см. сеть - чтобы не говорить, что нет такой науки сейчас).
7) Нет Арнольдовской науки - типа ВИНИТИ сборник (Арнольд, Васильев, и т.д.) там где асимтотики интегралов, связь со структурами Ходжа, вообще группы монодромий и т.д.
Ну и вообщем еще много чего кобордизмы и формальные группы, программа Ленглендса,
************************************************
В общем, программа отражает лишь десятую или сотую часть математики, связанную с дифгемом, и алггеомом. Нужно указать, что это для тех, кто хочет заниматься этими областями.
Нужна некая единая программа. Но раньше их было несколько - Арнольд, Гельфанд-Манин, Новиков, Синай. Сейчас меньше людей, но сделать Москву узкоспециализированым цетром нельзя и не получится. (Предствители других направлений вполне живы - и у них тоже есть сила и ученики.)

Rumata

Спасибо за ссылку
Вот еще составленный тем же автором "Список полезных книжек по математике"
(видимо, приложение к программе):
Первый курс
Анализ" Лорана Шварца, "Анализ" Зорича,
"Задачи и теоремы из функ. анализа" Кириллова-Гвишиани
Дифференциальная топология (Милнор-Уоллес
Комплексный анализ (Анри Картан Комплексный анализ (Шабат)
Второй курс
Группы и алгебры Ли (Серр)
Алгебраическая топология (Фукс-Фоменко
"Векторные расслоения и их применения" (Мищенко)
"Характеристические Классы" (Милнор и Сташеф)
"Теория Морса" (Милнор
"Эйнштейновы Многообразия" (Артур Бессе
Коммутативная алгебра (Атья-Макдональд
Введение в алгебраическую геометрию (Мамфорд)
Алгебраическая геометрия (Гриффитс и Харрис
Алгебраическая геометрия (Хартсхорн)
Алгебраическая геометрия (Шафаревич)
Алгебраическая теория чисел (ред. Касселс и Фрелих)
Теория чисел (Боревич-Шафаревич)
Когомологии Галуа (Серр)
"Инварианты классических групп" (Герман Вейль)
Третий курс
Бесконечнократные пространства петель (Адамс)
К-теория (Атья)
Алгебраическая топология (Свитцер)
Анализ (Р. Уэллс)
Формула индекса (Атья-Ботт-Патоди, сборник Математика)
Гомологическая Алгебра (Гельфанд-Манин)
Когомологии групп (Браун, что ли)
Когомологии бесконечномерных алгебр Ли (Гельфанд-Фукс)
Кэлеровы многообразия (Андрэ Вейль)
Квазиконформные отображения (Альфорс)
Четвертый курс
Геометрическая топология (Сулливан)
Этальные когомологии (Милн)
Алгебраическая геометрия - обзор Данилова (Алгебраическая Геометрия 2, ВИНИТИ)
Группы Шевалле (Стейнберг)
Алгебраическая К-теория (Милнор)
Обзор Суслина по алгебраической К-теории из 25-го тома ВИНИТИ
Многомерный комплексный анализ (Гото-Гроссханс)
То же по книжке Демайи (перевод готовится; можно скачать отсюда: http://www.mccme.ru/ium/f01/ag_over_c.html )
Пятый курс
Громов "Гиперболические группы"
Громов "Знак и геометрический смысл кривизны"

dimaxd

Странно, что "Современная геометрия" Дубровина-Новикова-Фоменко не упоминается в этом списке...
Классический учебник по геометрии.
Может просто забыли?..

Rumata

Я согласен, что отбор книг неоднозначный. Дифференциальная и риманова геометрия представлены лишь монографией Бессе "Многообразия Эйнштейна" и книжкой М. Громова (небольшой материал по сабжу в "Теории Морса" Милнора наверное не в счет). Причем в этом списке фигурирует например весьма специальная книга Сулливана "Геометрическая топология", но нет такой замечательной книги по топологии как "Дифференциальные формы в алгебраической топологии" Ботта и Ту. Конечно, когда составляются такие списки, сильно проявляется субъективный взгляд автора - накладывает отпечаток его личная история - по каким книгам он сам все изучал. И хотя автор ИМХО во многом прав, его подход немного напомнил мне отца из фильма "Блеск", который сразу требовал от сына разучивать 3-й ф/п концерт Рахманинова. Что же касается книги "Современная геометрия", то ИМХО ее лучше читать после "Курса дифференциальной геометрии и топологии" Мищенко и Фоменко. Кстати, авторы "СГ" вроде сами в предисловии пишут, что книга во многом ориентирована на физиков. Хотя по замыслу и по изложенному материалу она наверное не имеет аналогов.

spiritmc

Насчёт усиленных курсов.
Есть опыт претворения подобных программ в жизнь: 11-я группа.
Не самый лучший, надо сказать, опыт.
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

Irina_Afanaseva

Забавно, как приоритет ставится матфизика - и при этом о фейнмановских и пр. функциональных интегралах ни слова. Автор просто не в курсе, видимо,
1) что любая теория фундаментальных взаимодействий начинается и кончается этими интегралами
(и кстати московская школа бесконечномерного анализа впереди планеты всей в доказательствах корректности этих объектов(включая любимую автором струнную теорию) и исследовании их свойств)
2) идея этого подхода принадлежит собственно Дираку, и развита на уровне теоретической физики
- в приложении к квантовой электродинамике - Фейнманом ещё в начале 50-х, за что ему Нобелевку.
3) о переносе этого подхода на неабелевы теории - ещё несколько Нобелевских лекций.
4) математические конструкции направленные на исследование таких исчислений появились тогда сразу же - полвека назад!
5) наиболее глубокие математические результаты в этой области достигнуты в рамках теории мер на бесконечномерных многообразиях (именно, членами семинара (Фомина - основателя, и) Смолянова, Шавгулидзе).

marina204

Во всем мире под матфизикой понимают не то, что у нас.
Не очень понял к чему ты это говорил ?
Автор придерживается идеи о том, что критерий математики это физика...
Конечно небесполезно упомянуть о том, что струнная теория пока не имеет экспериментальных подтверждений , а потому трудно говорить о критериях в данном случае.
Скорее можно рассуждать так: большинство людей ей сейчас занимаются, если хотите быть в трамвае ботайте матпрограмму Вербицкого, я так понял.

3qqq

"Современная геометрия" Дубровина-Новикова-Фоменко -- это такая книга, которой многие в Независимом брезгуют. По крайней мере, дифгем оттуда -- это дифгем для физиков, ничего общего с алгебраическим подходом Вербицкого и пр. не имеющий.

Rumata

это такая книга, которой многие в Независимом брезгуют
ИМХО, брезговать нужно действительно плохими вещами, а не книгами. Согласен, книга далеко не идеально написана, но уникальна по охвату материала и служит ценным источником например по физическим приложениям. Вместо категоричных оценок лучше четко и ясно объяснить в чем недостатки указанной книги (чтобы их поняли люди, которым еще только предстоит изучать этот предмет) и какие книги и чем лучше.
алгебраическим подходом Вербицкого
Интересно, что это за "алгебраический подход" Вербицкого к дифгему? А так о различии геометрического и алгебраического подходов ужЕ говорилось в этом форуме: см. .

Irina_Afanaseva

> Во всем мире под матфизикой понимают не то, что у нас.
Чепуха. См.переводные книги со словами "математическая физика" в названии.
Например, Рид-Саймон и пр. - например, из библиотеки Цепеша.
> Не очень понял к чему ты это говорил ?
К тому, что Вербицкий не в курсе основного метода современной матфизики
на котором стоит та же теория струн. Не в курсе, ради чего она была изобретена.
По очень простой причине он не в курсе. Он забыл или не хочет помнить, что со времен Ньютона
матфизика - это решение дифуров, то есть интегрирование. А это сложно, особенно в квантовой физике --- там нужны бесконечномерные интегралы, типа Фейнмановских. Проще разбираться в какой-нибудь алгебраизованной теории, чем в предельных теоремах теории стохастических процессов на римановых многобразиях, или во (вторичном) квантовании теорий с нелинейно вырожденным лагранжианом.
> струнная теория пока не имеет экспериментальных подтверждений
> а потому трудно говорить о критериях в данном случае.
Для интересующихся - теория струн изобретена ради того, чтобы сходились интегралы,
представляющие слагаемые рада теории возмущений хотя бы в НЕквантованной теории калибровочных полей типа Янга-Миллса. А теория суперструн изобретена из-за подозрения (оправданного горьким опытом что без учета суперсимметрии надеяться на эту сходимость бесполезно.
О критериях говорить легко. Мэтры матфизики в Союзе - те, кто рассчитывал Бомбу и АЭС ---
покойный Н.Н.Боголюбов, живой классик В.С.Владимиров, ак. В.П.Маслов.
Кроме того, ученики Колмогорова (Гельфанд, Фомин, Шилов) и он сам, создавший в одиночку стохастический анализ (например, формула Ито ему была известна раньше Ито, по дневникам;
а Mallyavin's Calculus и Hida's White Noise Analysis - частные случаи бесконечномерного
анализа, заложенного Фоминым, Далецким и Смоляновым и развитого Смоляновым с учениками).
Почитайте их главные математические работы, и всё насчёт критериев станет ясно.
> если хотите быть в трамвае ботайте матпрограмму Вербицкого, я так понял.
Вот из предыдущего и следует, что трамвай Вербицкого едет неизвестно куда.
Куда-то за границу... реальной (или актуальной) матфизики.
Поближе к обобщениям обобщений обобщений. Это легко.
Трудно решать серьезные аналитические задачи.
Доказательство: нет ни одного спеца (написавшего книгу) по, скажем, топосам, кто бы понял функциональный интеграл вторичного квантования.
Противоположных примеры есть, двух знаю лично. Вот так.

Irina_Afanaseva

оппозиция есть?

Xephon

если хочешь поругаться - напиши самому Мише

Rumata

Он забыл или не хочет помнить, что со времен Ньютона
матфизика - это решение дифуров, то есть интегрирование.

Что ж тогда до сих пор цель алгебры и алгебраической геометрии - решение систем алгебраических уравнений?
Вот из предыдущего и следует, что трамвай Вербицкого едет неизвестно куда.
Куда-то за границу... реальной (или актуальной) матфизики. Поближе к обобщениям обобщений обобщений. Это легко.
Трудно решать серьезные аналитические задачи.

Что же делать? Видимо в таком направлении развивается современная физика (по крайней мере ее мэйнстрим). Возможно здесь негативно сказывается западный подход к организации и финансированию науки. А кстати почему Вы выделяете именно аналитические задачи?
PS: Кстати, цель, которую я преследовал, когда постил эту программу - привести список того, что желательно знать в дополнение к стандартному мехматовскому курсу. По крайней мере мне кажется неправильным, что в обязательную программу мех-мата, насколько я знаю, не входят такие темы как гомологическая алгебра и разные варианты теорий когомологий, теория Галуа, группы Ли, векторные расслоения и вообще элементы алгебраической топологии, или входят в слишком малом объеме - как например римановы поверхности. Правда, к счастью, этот недостаток можно компенсировать за счет посещения спецкурсов и самостоятельной работы, но список таких тем все равно желательно иметь перед глазами. Т.е. для меня программа Вербицкого - скорее попытка написать математический аналог "Теорминимума" Л.Д. Ландау.

Rumata

Забавно, как приоритет ставится матфизика - и при этом о фейнмановских и пр. функциональных интегралах ни слова.
Возможно это потому, что речь идет о математической программе, возможно, есть еще и физическая , и эти темы рассматриваются там - вместе с КТП. Действительно, насколько я знаю, метод фейнмановских диаграмм играет большую роль в современной математике и странно было бы полное отсутствие упоминания о нем.

natunchik

Я бы хотел заметить, что аффтор программы никогда не общался со школьниками. Потому что
1) Люди очень плохо забатывают то, что они не понимают нах нужно.
2) Все перечисленное для школьного уровня совершенно не имеет применений на этом уровне и не является достаточно красивыми, чтобы быть самодостаточными.
Пример: я этим летом рассказал 10-11 классникам теорему геделя. Они примерно поняли в чем суть, но забыли на выходе из аудитории, потому что человек должен развиться в некотором направлении на некоторое расстояние чтобы теорема геделя стала ему интересна. Чтобы он _жопой__чувствовал__ее__следствия_. От такая хуйня =)

electricbird

>Я бы хотел заметить, что аффтор программы никогда не общался со школьниками
ну ты реальный йумАрист, чуве
>Пример: я этим летом рассказал 10-11 классникам теорему геделя. Они примерно поняли в чем суть, но забыли на выходе из аудитории
маза - они подумали, что это опять твой заебатый програмерский йумАр, а нах помнить тупые шутки дольше чем до "выхода из аудитории"?

Irina_Afanaseva

> мне кажется неправильным, что в обязательную программу мех-мата, насколько я знаю, не входят
> такие темы как гомологическая алгебра и разные варианты теорий когомологий, теория Галуа, группы > Ли, векторные расслоения и вообще элементы алгебраической топологии, или входят в слишком
> малом объеме - как например римановы поверхности.
насчет групп Ли и векторных расслоений полностью согласен, а вот насчет прочей "abstract nonsense"
C)A.Гротендик) - согласен с Гротендиком хотя связь некоторых классов когомологий с зарядами знать полезно --- но именно в рамках алгебраической топологии гладких многообразий (на худой конец,
с особенностями а не алгебраической геометрии над конечными полями (и далее по Гротендику).
> Что ж тогда до сих пор цель алгебры и алгебраической геометрии - решение систем алгебраических
> уравнений?
Меня это не интересует, я отношу алгеом к теории чисел и далёк от них. Но Манин именно так и считает, как Вы написали - см. его ротапринтную книжку на 14-м.
> Что же делать? Видимо в таком направлении развивается современная физика (по крайней мере ее
> мэйнстрим).
Я знаю теорфизиков и матфизиков. Даже современную физику немного. Ничего такого там не "видимо",
кроме скоропреходящей моды.
> Возможно здесь негативно сказывается западный подход к организации и финансированию науки.
Сказывается также отсутствие гос.интреса в науке. Правда, к военно-прикладной части интрес уже пробуждается.
> А кстати почему Вы выделяете именно аналитические задачи?
Потому что этой части доверился Ньютону, Эйнштейну, Лапласу, Гамильтону, Гильберту, Пуанкаре,
Лоренцу, Минковскому, Больцману, Гиббсу etc. -- тут все классики едины в оценке актуальности.

electricbird

Потому что этой части доверился Ньютону, Эйнштейну, Лапласу, Гамильтону, Гильберту, Пуанкаре,
Лоренцу, Минковскому, Больцману, Гиббсу etc. -- тут все классики едины в оценке актуальности.

интересный подбор классиков Ферма, Гаусс и Колмогоров как-то незаслуженно забыты

Irina_Afanaseva

они не забыты, Колмогоров учтен раньше, остальные в etc.
Я не собирался постить весь пантеон науки - а только тех, о ком недавно говорил или читал.

electricbird

ладно, скажу яснее: далеко не все классики едины в оценке актуальности. в частности, Ферма и Гаусс никак не могут быть в указанном etc. Колмогоров - с большой натяжкой

Irina_Afanaseva

Какие исключения из аналитического подхода в матфизике?
Принцип минимума Ферма - принцип минимума в лучевой оптике/аналитической механике.
Вклад Гаусса - кривая вероятностей и теоремы о криволинейных интегралах для электростатики.
Вклад Колмогорова - построение аналитического аппарата современной стохастики + исследование турбулентности.
Это навскидку. Желающие могут и добавить подробностей.
Чтобы не писать глупости, почитайте про историю науки.

Irina_Afanaseva

то, что они интересовались иногда и арифметикой - не довод против актуальности решения дифуров

electricbird

наоборот

Irina_Afanaseva

спор о полстакане легко прекратить, если сравнить, сколько величайших считали честью ограничиться теорией чисел и устраниться от решения аналитических вопросов, и сколько наоборот.

Irina_Afanaseva

тем более, что и результаты (когда-то ``чистой'') аналитической теории чисел (к удивлению даже известных граждан типа Харди, то ли Литтлвуда) постепенно включаются в матаппарат физики.

Rumata

Ну хорошо, а вот скажите к примеру, задача о вычислении индекса эллиптического оператора на компактном многообразии является какой - аналитической или например топологической? Или К-теория - наука больше аналитическая, алгебраическая или топологическая? Или теория чисел?
Меня это не интересует, я отношу алгеом к теории чисел и далёк от них. Но Манин именно так и считает, как Вы написали - см. его ротапринтную книжку на 14-м.
Насчет Манина - не раз замечал в его книгах любовь к изящным формулировкам Но вспомните его "Кубические формы": если бы он буквально придерживался такой точки зрения, то его удовлетворила бы формула (приведенная на 1-й странице) для представления произвольного рационального числа в виде суммы трех кубов рациональных чисел:

и зачем ему понадобилось потом писать целую книгу?
вот насчет прочей "abstract nonsense"
C)A.Гротендик) - согласен с Гротендиком
А знаете ли Вы, что сам Гротендик успешно применил ее в гомологической алгебре и алгебраической геометрии (идея "производного функтора" и "К-функтора" потом последовали работы Квиллена по спектрам алгебраической К-теории (конструкции которых существенно использовали теорию категорий) и уже в наше время моноидальные категории нашли серьезные применения к квантовым группам, теории узлов и маломерной топологии?
Сказывается также отсутствие гос.интреса в науке. Правда, к военно-прикладной части интрес уже пробуждается.
"Колючки от волков?! Это я, дурак,--- от волков...
Рудники, рудники оплетать этими колючками...
Чтобы не бегали с рудников государственные преступники.
<...>
А меня спросили? Спросили!
Колючка, грят? Колючка.
От волков, грят? От волков...
Хорошо, грят, молодец! Оплетём рудники..."
(с) Братья Стругацкие "Трудно быть богом"
Потому что этой части доверился Ньютону, Эйнштейну, Лапласу, Гамильтону, Гильберту, Пуанкаре,
Лоренцу, Минковскому, Больцману, Гиббсу etc. -- тут все классики едины в оценке актуальности.
Для многих из приведенных Вами математиков такое разделение на аналитиков и прочих математиков (и соответственно математики на "аналитическую" и по-видимому "алгебраическую"(? показалось бы весьма искусственным. Для многих из них я думаю математика была единой наукой (вспомните кватернионы, изобретенные Гамильтоном или работы Гильберта по алгебраической теории чисел). Вспомните также таких классиков второй половины XX века как Серр и Гротендик. Но ИМХО это детский спор, и мне не хотелось бы его продолжать. То, что меня интересовало (а именно случайно Вы использовали термин "аналитические задачи" или нет я уже выяснил.
PS: Кстати в своем списке великих Вы ИМХО забыли Римана.
PPS: Прошу прощения если что-то недопонял в Вашем посте - отвечал с температурой наверное градусов 39 Не знаю, проснусь ли завтра...

Ater

тем более, что и результаты (когда-то ``чистой'') аналитической теории чисел (к удивлению даже известных граждан типа Харди, то ли Литтлвуда) постепенно включаются в матаппарат физики.

А можно привести примеры применения теории чисел в физике. А то я что-то пропустил...

Irina_Afanaseva

теория чисел в матфизике? можно.
числа имени всяких граждан (а также их асимптотики) используются в рядах теории возмущений КЭД,
ещё какие-то в работах Дж.Гофа по марковским аппроксимациям квантовых случайных процессов,
давно дзета-функция применяется в теории регуляризованных следов (напр., недавние работы И.В.Садовничей) из спектральной теории задач типа Штурма--Лиувилля... это в "аналитике".
Особенно связей с т.ч. много в обсуждаемой "алгебраической матфизике",
поскольку в т.н. "модельных случаях" явные выкладки прифодят к спецфункциям
(напр., Н.Харт "Геометрическое квантование в действии").

Irina_Afanaseva

> Прошу прощения если что-то недопонял в Вашем посте -
> отвечал с температурой наверное градусов 39
> Не знаю, проснусь ли завтра
Желаю выздороветь и ответить с пониманием.
> А знаете ли Вы, что сам Гротендик...
Именно знаю
---------
О мэтрах. Конечно, они почти никогда не делят математику на аналитическую и алгебраическую, ибо
для многих анализ (в широком смысле, анализ соотношений(функций, уравнений) из физики) - цель, а алгебра - язык и часто средство. Но я не сторонник приравнивать, образно говоря,
даже гениальных лингвистов - к гениальным поэтам. Даже к гениальным прозаикам.
Спор, о котором Вы говорите, становится Отнюдь не детским, когда хочешь найти проблематику,
лежащую в самом "мэйнстриме", а не во временном его мираже.

Irina_Afanaseva

даа, при том что у Смолянова на пятничном с/к забита вся ауд. (1616)...
То есть, "трамвай Вербицкого" приехал.
Приятно было сравнить (см. насчет поэтов и лингвистов
и "мэйнстрима" и миража спасибо за ссылку.

Irina_Afanaseva

> если хочешь поругаться - напиши самому Мише
таким писать бесполезно. Кроме того, они не делают погоду.
Гораздо полезнее (что и сделано) было всё это обсудить как раз перед данной группой читателей
и прилюдно выяснить, кто-таки погоду (в науке) делает.

Rumata

Желаю выздороветь и ответить с пониманием.
Спасибо, уже лучше , но понимания от этого не прибавилось Все-таки Ваш способ выражать мысли не кажется мне вполне ясным. Начнем с того, обсуждаем ли мы математику или математическую физику? В первом случае я бы возможно продолжил беседу, во-втором - нет (из-за своей некомпетентности). И вообще у меня к Вам просьба на будущее формулировать свои основные тезисы почетче - представителю другой школы трудно понять используемые Вами термины и образы. Например даже термин "аналитический", формально говоря, в ("моей") математике имеет более узкий смысл, чем тот, в котором Вы его используете - а именно "относящийся к аналитической категории" (которая находится в ряду геометрических категорий: топологической, гладкой, ___, алгебраической).
для многих анализ (в широком смысле, анализ соотношений(функций, уравнений) из физики) - цель, а алгебра - язык и часто средство.
Цель и средства - тоже ИМХО не больше чем отражение текущих взглядов. Любая цель (т.е. задача) в конце концов служит (т.е. является средством) для развития новых средств (методов) - вспомните историю доказательства Великой теоремы Ферма - вообщем-то для решения частной задачи Куммер создал теорию алгебраических чисел, превратившуюся (в работах Дирихле, Минковского, Гильберта) в один из глубоких разделов математики со своими сложными и важными задачами, многие из которых интереснее и глубже (чего стоит задача описания группы Галуа поля алгебраических чисел!) исходной проблемы Ферма, которая запустила весь процесс. И я никогда не соглашусь что с точки зрения "чистой" математики задачи теории чисел или алгебраической геометрии менее важны чем задачи анализа.
даа, при том что у Смолянова на пятничном с/к забита вся ауд. (1616)...
То есть, "трамвай Вербицкого" приехал.

На лекции Ньютона тоже говорят (см. Арнольд "Гюйгенс и Барроу. Ньютон и Гук....") иногда никто из студентов не приходил - значит посещаемость лекций - еще не основание для каких-либо выводов

Rumata

Гораздо полезнее (что и сделано) было всё это обсудить как раз перед данной группой читателей
и прилюдно выяснить, кто-таки погоду (в науке) делает.
Какой смысл Вы вкладываете в "делать погоду в науке"? Если тот, что сколько ведущих (по общепринятым критериям) специалистов работают в данной тематике и сколько грантов выдается по ней, то теория суперструн (и близкие к ней разделы) входит в лидеры (может является даже единоличным лидером в математике - математической физике). По крайней мере так было пару лет назад. Если Вы имеете в виду вклад в науку и перспективность того или иного направления - то это очень сложный вопрос, который серьезно на форуме обсуждать невозможно, ИМХО. По крайней мере нужно, чтобы все стороны были одинаково представлены, а в струнах я вот например совсем не специалист и не могу эту науку квалифицированно защищать. Так что найдите себе квалифицированного оппонента, "прилюдно" убедите его, и тогда уже празднуйте победу
PS: Я не думаю что среди ведущих математиков большинство руководствуется только меркантильными интересами и соображениями моды. То, что многие из них тем не менее работают в струнной тематике (как например сэр Майкл Атья кое-что говорит в пользу струн и в чисто научном плане, ИМХО

Irina_Afanaseva

> обсуждаем ли мы математику или математическую физику
Определение. Математическая физика - это часть математики,
изучающая математическими методами те математические объекты
(уравнения, операции, пространства и т.п. которые мотивированы
формулами или рассуждениями из физики.
Поэтому речь именно о математике.
Фактически, это та часть математики как общественного явления (или как направления деятельности
которая сознательно ориентирована на решение проблемы Гильберта - математизировать физику.

Irina_Afanaseva

> И я никогда не соглашусь что с точки зрения "чистой" математики задачи теории чисел или
> алгебраической геометрии менее важны чем задачи анализа.
важность - как её понимать? Непростой вопрос.
Я предпочитаю говорить об актуальности, или полезности, имея в виду упомянутую цель - математизацию физики. В этом направлении, как и в обобщениях обобщений абстракций,
прилагаются, на мой взгляд, наибольшие усилия известных математиков.
Вопрос - усилия в каком из двух направлений дадут больше морального удовлетворения?
Для классиков, я думаю, нет сомнений - в первом.

Irina_Afanaseva

> На лекции Ньютона тоже говорят (см. Арнольд
> "Гюйгенс и Барроу. Ньютон и Гук....") иногда никто из
> студентов не приходил - значит посещаемость лекций -
> еще не основание для каких-либо выводов
ну, вот, есть факты и есть их оправдания.
А если к оправданию привлекаются классики противоположной стороны...
значит, на оправдываемой стороне недобор классиков

Irina_Afanaseva

> То, что многие из них тем не менее работают в струнной тематике (как например сэр Майкл Атья
> кое-что говорит в пользу струн и в чисто научном плане, ИМХО
Вы почему-то решили защищать от меня теорию струн.
Но я против неё ничего не имею, а наоборот всеми руками "за" и всех коллег туда агитирую
Я лишь, не сомневаясь в ценности этой цели, указал на пробел в программе Вербицкого,
заявленной как программа достижения цели. У него нет функциональных интегралов.
Это катастрофический пробел, на фоне которого остальные недостатки
(включая педагогическую бессмысленность программы в школьной части
[я работаю с выпускниками 5 лет, а вообще со школьниками - с юности, так сказать],
а также явный перекос в сторону алгебраической геометрии в остальном) совершенно блекнут.
Вот, скажем, известный Виттен для Вас наверное авторитет, ибо он зарубежом и фамилия его нерусская. В соавторстве с двумя коллегами написал 2 тома "Теории суперструн" по полтыщи страниц каждый ("Мир", 1990). часть 1 - введение, часть 2 - "старая теория", часть 3 - "новая теория"=
подход с использованием функциональных интегралов (с стр.143) , и далее ВСЯ книга на этом языке.
Если это не убеждает в бездарности программы, ориентированной на струны но не включающей
функциональное интегрирование [да и большую часть функционального анализа,
созданного фон Нейманом как раз для описания квантовой теории], то я смиренно умолкаю.

Rumata

Попробуем применить Ваше определение Простейшая "физическая" (в широком смысле) операция - подсчет предметов одного вида (яблок например). Тот факт, что сложение яблок моделируется сложением и умножением натуральных чисел (а например не классов вычетов по модулю 31) - экспериментальный. Значит, изучение полукольца натуральных чисел (а вместе с этим все проблемы о простых числах) - математическая физика согласно Вашему определению. Теория групп - тоже математическая физика, поскольку изучает математическими методами объекты (группы мотивированные рассуждениями из физики (идеей симметрии). По той же причине значительная часть геометрии - тоже математическая физика, и т.д. В принципе я ничего не имею против Вашего определения, но все же пояснение к нему ("это та часть математики как общественного явления (или как направления деятельности которая сознательно ориентирована на решение проблемы Гильберта - математизировать физику") мне кажется более проясняющим ситуацию. Увы, себя к этой математической деятельности я отнести не могу.
PS: Как пример удачного определения предмета (конкретно - алгебры) могу привести вводный параграф "Что такое алгебра?" к книге И.Р. Шафаревича "Основные понятия алгебры".

stm6662307

какой грин-шварц-виттн авторитет, он же устарел давно.

Irina_Afanaseva

устарел но не в части функционального интегрирования

spiritmc

Не отрывайся настолько сильно от действительности.
На простейших действиях над натуральными числами можно легко
остановиться.
В этом смысле я согласен с ультрафинитистами того же Вербицкого.
---
"Математик может говорить, что ему хочется,
но физик должен, хотя бы в какой-то мере, быть в здравом рассудке."
Дж. В. Гиббс

Rumata

Я предпочитаю говорить об актуальности, или полезности, имея в виду упомянутую цель - математизацию физики.

Хорошо, но другие люди могут иметь совсем другую цель - например создание некоммутативного аналога теории полей классов или доказательство гипотезы Римана.
В этом направлении, как и в обобщениях обобщений абстракций,
прилагаются, на мой взгляд, наибольшие усилия известных математиков.

Вы тут используете хитрый прием ведения спора - делаете допущение, что всякий, кто не принимает участие в "математизации физики", занимается "обобщением обобщений абстракций". Могу Вас уверить, что это не так - в математике есть много задач и без лишних абстрактных обобщений, касающихся самых естественных объектов (числа, многообразия,...)

Rumata

А если к оправданию привлекаются классики противоположной стороны...
значит, на оправдываемой стороне недобор классиков

Наследие Ньютона принадлежит всему человечеству Так же как интегральное и дифференциальное исчисления. Иначе может начаться процесс, когда математики начнут патентовать свои изобретения и заставят платить физиков за пользование числами, группами, гильбертовыми пространствами и т.д. Представляете что тогда начнется

Irina_Afanaseva

> Хорошо, но другие люди могут иметь совсем другую цель - например создание некоммутативного
> аналога теории полей классов или доказательство гипотезы Римана.
Вот такие люди и приходят в раздражение либо уныние от вопросов вроде "а зачем?",
так как не могут внятно объяснить, чего ради они проедают деньги налогоплательщиков родной страны.
А матфизика по определению работает на физику, которая на технику - то есть, в общем, на страну.
По крайней мере, идейно. Вообще, где-то я уже писал на форуме: если равенство доказано математически, - экономятся деньги экспериментаторов. Прямая выгода родному народу
Хотя конечно, и среди физиков есть те, кого тошнит от "низкой" техники.
По принципу "наука - удовлетворение амбиций за народный счёт".
Таких подход "ученых за науку ради науки" - а на самом деле ради себя любимых - ненавижу и презираю.
Как поощрение паразитов на теле народа. Как взращение вредителей.
В математике таких - увы, особо много, гранты получают.
Вот Путин и решил не противодействовать разгону академических институтов.
Тунеядцев и воров - в шею
> в математике есть много задач и без лишних абстрактных обобщений, касающихся самых
> естественных объектов (числа, многообразия,...)
Да, конечно. Задач больше чем людей. Людям надо выбирать задачи. Из каких соображений - об этом и дискутируем. Я считаю, что самый достойный выбор для математика
(если выбор вообще стоит) - математизация исчислений, возникающих на переднем
крае в фундаментальной физике.
Конечно, может, у кого-то призвание - найти признаки делимости на 58 в 60-ричной позиционной.
Классическая задача, стоит со времён Вавилона. Если кто решит - скажу "Ооо..." но сам решать не буду, не буду рекомендовать к печати в хороший журнал или даже к реферированию-депонированию.

Rumata

Вот, скажем, известный Виттен для Вас наверное авторитет, ибо он зарубежом и фамилия его нерусская.
Что-то не понял намека Виттен безусловно для меня авторитет.
Если это не убеждает в бездарности программы, ориентированной на струны но не включающей функциональное интегрирование [да и большую часть функционального анализа,
созданного фон Нейманом как раз для описания квантовой теории], то я смиренно умолкаю.
Кстати, с этим конкретно я и не спорил. Вообще, когда Вы четко оговариваете, что пишете о матфизике и теории струн, я с Вами как правило согласен (по крайней мере в меру своего поверхностного знания того и другого). Но вот когда Вы пишете о "чистой" математике (что это бессмысленное нагромождение абстракций тут я поспорил бы с Вами.

Rumata

так как не могут внятно объяснить, чего ради они проедают деньги налогоплательщиков родной страны.
А матфизика по определению работает на физику, которая на технику - то есть, в общем, на страну.
По крайней мере, идейно. Вообще, где-то я уже писал на форуме: если равенство доказано математически, - экономятся деньги экспериментаторов. Прямая выгода родному народу

Вообще-то no comments, но где-то я уже слышал подобную аргументацию. Вспоминается история про статью "о буржуазной сущности комплексных чисел", автор которой утверждал, что мнимые числа придуманы буржуинами чтобы обманывать рабочих, которым на самом деле нужны действительные, настоящие. К счастью, теперь можно над этим пошутить - до "советской математики" дело не дошло (как в случае с биологией).
может, у кого-то призвание - найти признаки делимости на 58 в 60-ричной позиционной.
Классическая задача, стоит со времён Вавилона.

Это мне напомнило представление некоторых далеких от математики людей о том, чем занимаются математики - перемножают очень большие числа (или в крайнем случае строят правильные 65537 - угольники циркулем и линейкой ).
PS: Т.к. Вы используете при обсуждении левые аргументы, я его со своей стороны прекращаю. Извините если в чем был не прав.
---------------------------------------------------
Хотя конечно, и среди физиков есть те, кого тошнит от "низкой" техники.
По принципу "наука - удовлетворение амбиций за народный счёт".
Таких подход "ученых за науку ради науки" - а на самом деле ради себя любимых - ненавижу и презираю.
Как поощрение паразитов на теле народа. Как взращение вредителей.
В математике таких - увы, особо много, гранты получают.
Вот Путин и решил не противодействовать разгону академических институтов.
Тунеядцев и воров - в шею
... Посидеть [...] с нормальными хорошими людьми, не слышать ни о долларах, ни об акциях, ни о том, что все люди скоты... Ой, когда же я отсюда выберусь!..
А. и Б. Стругацкие. "Стажеры"

Irina_Afanaseva

> когда Вы пишете о "чистой" математике (что это бессмысленное нагромождение абстракций)
В бесконечномерном анализе и в матфизике полно нагромождений абстракций, такова наука.
Вся разница в том - это абстракции ради абстракций или ради чего?
Я критикую не предмет, а мотив его развития.
Многие развивают только то, к чему привыкли, и только потому, что к этому привыкли.
Это смерть науки и паразитизм на теле народа. Даже в глобалистском плане. Противно.

Rumata

Я математик, мне можно (согласно твоей подписи )

Irina_Afanaseva

> о буржуазной сущности комплексных чисел
именно в тему.
Каждый ученый должен уметь обяснить налогоплательщикам, чего ради его финансировать.
Это важно и в богатой стране. А особенно - в той, где умирает в год в мирное время столько же народу, сколько больше полувека зазад в военное время.
В Нашей стране, где идет такая смертельная война против Нашего народа
- но не огнестрельными, а экономическими средствами, отчего народу не слаще.
Кто об этом не хочет думать и иметь этот пепел Клааса у своего сердца - мне противен.

spiritmc

Государство --- главный капиталист, а те деньги,
которые государственные, уже не пойдут на заработную плату
рабочим. По крайней мере, это очень маловероятно.
Второе, научные разработки тех, кто сможет убедить государство в
своей полезности, пойдут на службу этому самому государству.
См. марксистский пример от Стругацких.
Поэтому попытайся поискать более правильную точку приложения
своего классового сознания.


Мы открывали
Маркса
каждый том,
как в доме
собственном
мы открываем ставни...

electricbird

>Каждый ученый должен уметь обяснить налогоплательщикам, чего ради его финансировать.
неплохо бы каждого, такое предлагающего, обязать проделать данную операцию хотя бы с одним первым встречным налогоплательщиком

Irina_Afanaseva

а я не против капиталистов
я против оголтелых капиталистов
также как и против оголтелых математиков
я за нормальных. Нормальный - это который готов достойно ответить за свои действия,
когда народ спросит.

Irina_Afanaseva

именно потому, что часто приходилось отвечать, об этом и пишу

spiritmc

Тогда повышай своё классовое сознание:
капиталист не может не быть оголтелым.


Мы открывали
Маркса
каждый том,
как в доме
собственном
мы открываем ставни...

Irina_Afanaseva

а химик?

spiritmc

А химик не капиталист.
В худшем случае --- интеллигент.
Хотя последнее никак не мешает ему отстаивать интересы капиталистов.
---
"Мы диалектику учили не по Гегелю.
Бряцанием боёв она врывалась в стих..."

Irina_Afanaseva

> А химик не капиталист.
А что-то много банков по Москве в названиях химические корни имеют

natunchik

О! Я могу че-нить сказать!
Я очень сильно уверен в следующем: как только в отдельно взятой стране научные исследования в какой-нить области начинают поощряться исходя из их сиюминутной полезности (5-10 лет все равно считются "сиюминутностью" эта область начинает стремительно деградировать. Во-первых потому что интервал сиюминутности неуклонно уменьшается - потому что он субъективный по природе своей. Во-вторых, потому что это прививает вполне определенный взгляд на науку молодым специалистам. Ну то есть в рамках такого отношения к науке человеческий фактор немедленно проявит себя во всей красе: молодые ученые будут заниматься увеличением прочности стали на полпроцента, а старым не будут давать денег, мотивируя это тем, что они прочность стали совершенно не увеличивают. Ну невозможно собрать Оценочную Комиссию из Честных и Беспристрастных Людей. Их не существует столько, а те, которые существуют, предпочитают чем-нить интересным заниматься, а не в комиссиях сидеть. Это, кстати, основная причина того, что в разного рода комиссиях (собраниях, студсоветах, верховных советах, думе) столько уебков.
С другой стороны есть такое понятие - Красота Идеи. Которую неспециалист в той области, в которой Идея понять не может, и полезность оценить тоже. А если бы и мог, все равно за Красоту Идеи , насколько я его понял, денег давать не хочет. Особенно что Красота (даже в случае математических построений) понятие тоже субъективное.
Тем не менее, действительно красивые идеи встречаются весьма редко, зато потом (лет через сто) пригождаются очень сильно, если и не прямо, то как катализаторы других идей и источники Парадигм. И вообще расширяют сознание. Типа мир почему-то устроен Красиво. А если где-то и встречается некая бесформенность (типа молярного веса 37,5 (или сколько там да и вообще жуткого количества разных элементов, то ее потом успешно упорядочивают Периодической Таблицей, а потом и Структурой Атома.
Поэтому в долгосрочном плане, ИМХО, _необходимо_ некоторое (причем достаточно большое) количество ученых, которые "удовлетворяют свое любопытство за счет государства". И иногда из этого получается что-нить полезное. Потому что ученый, который не удовлетворят любопытство, а увеличивает надои, ничего полезного, кроме немножко увеличенных надоев, произвести не может в принципе.

Irina_Afanaseva

я и не говорил о _сиюминутной_ полезности.
Фундаментальная наука важна именно стратегически.
И в ней почти всё (и заведомо всё главное) --- красиво.
И надои увеличивать позволят именно красивые принципы.
Безобразны как раз топосы, на мой взгляд
Ибо принцип "обобщение ради обобщения" за народные деньги - безобразен.

natunchik

А кто решать будет, что красиво, а что нет?
И как вообще можно оценивать "надои" в математике? Типа, сколько физиков заюзали полученный метод для повышения своих надоев?
И вообще это неважно. Ты подумал о деградации науки как таковой?

sanosik

>> И надои увеличивать позволят именно красивые принципы.
> как вообще можно оценивать "надои" в математике?
Я () не случайно написал слово без кавычек -
имея в виду прикладные принципы оптимальности.
Они красивы, обобщают принцип множителей Лагранжа.
А деградация в российской науке уже совершилась,
благодаря продажности академической элиты.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: