Доказума ли эргодическая гипотеза

st2006

Я понимаю что тут лишь можно сказать имхо:
ну просто интересует ваше мнение:
1) да
2) нет
3) возможно доказать что ее невозможно доказать.

Martika1

вообще-то некоторые системы эргодичны, а некоторые — неэргодичны

mtk79

не совсем так:
есть две эргодических гипотезы: одна, основная, исторически первая, недоказуема. Вторая же, эргодическая гипотеза KPBLC'а, звучит точно так же, как и первая — но, в отличие от нее, доказуема. А точнее, доказума.
Так то!

st2006

не понял
какая вторая?

Arthur8

честно говоря я даже суть проблемы не понял. При споре об эргодической гипотезе ссылки идут на распределение Гибсса, но без книжек я физ смысл распределения Гибсса так с наскоку понять не могу

Arthur8

т.е. статмеханика говорит об том, что механические преобразования могут быть обратимыми во времени? т.е. жизнь травки, растущей из семечка можно описать функцией f(r,t где r - вектор, а t - время. Соответственно задав функцию жизни травки в виде f(r, -t) можно травку врастить обратно в семечко, т.е. статмеханику свести к классмеханике, где нет проблемы обращения времени назад? или если иными словами обратить время вспять
В этом спор?
вобщем я ничего не понял

st2006

состоит в предположении, что средние по времени значения физических величин, характеризующих систему, равны их средним статистическим значениям
я вот про это утверждение и говорю
можно ли его доказать

Lene81

Няшка, ты же все равно не поймешь объяснения, зачем тебе оно? Умным хочешь выглядеть? Запишись на тренинги к силволу.

demiurg

Примерно как с первым законом Ньютона.
Тело на которое не действуют силы движется равномерно и прямолинейно — можно ли это доказать?

demiurg

Поскольку ты всё равно не можешь ждать бесконечное время, то вопрос этот имеет чисто академически-развлекательный смысл.
А так, как уже сказал кайафа, есть системы, которые в практическом смысле эргодическими не являются.

Arthur8

я поботал немного вот что нашёл в интернетах
==============================
 "Статистическое среднее" - это с некоторым весом объём доступного системе фазового пространства. Иными словами эргодическая гипотеза заключается в том, что доля времени, проводимого системой в данной области фазового пространства, зависит только от объёма этой области и прямо пропорциональна ему.
Рассмотрим двумерное движение точечной частицы внутри некоторой области плоскости, ограниченной замкнутой кривой. Движение происходит по инерции (по прямой и с постоянной скоростью) внутри этой области, а натыкаясь на границу, частица отражается от неё по закону "угол падения равен углу отражения", не меняя величину скорости. Представим себе, что некто запустил такую частицу и ушёл курить. Тут явились мы, вознамерившись "поймать" её, опуская внутрь биллиарда некий стакан донышком вверх. Так эргодическая гипотеза полагает, что вероятность нашего успеха зависит только от площади стакана и индифферентна к тому, в какое место биллиарда мы его ставим и к его форме (круглый, гранёный или вообще в виде звезды). Для круглого биллиарда это совершенно не так, а ежели он в виде стадиона - всё хорошо. Общий принцип - стенки должны "рассеивать" частицу. Скажем, совсем хорошо взять шестиугольник и вдавить его стороны внутрь дугами окружностей.
==============================
но всё равно что то не понимаю физсмысла

demiurg

Идея объяснения хорошая только зря со стаканом намутили и сбивают подробностями со стенками.
Практический смысл в том, что ни ты, проводя измерения, ни сами системы в происходящих физических процессах не сэмплируют весь свой фазовый объём. Потому что это долго. Они успевают исследовать только небольшую часть — и в эргодических системах усреднение по этой части даёт те же самые значения физических наблюдаемых, что и по любой другой части и что по всему пространству.
В неэргодических — не так. Значения наблюдаемых зависят от того в каком месте фазового пространства ты оказался.

st2006

Попроще объясни , ничо не понятно

natunchik

т.е. статмеханика говорит об том, что механические преобразования могут быть обратимыми во времени? т.е. жизнь травки, растущей из семечка можно описать функцией f(r,t где r - вектор, а t - время. Соответственно задав функцию жизни травки в виде f(r, -t) можно травку врастить обратно в семечко, т.е. статмеханику свести к классмеханике, где нет проблемы обращения времени назад? или если иными словами обратить время вспять
Я, кстати, недавно читая новеллу Ted Chiang "The story of your life" внезапно понял, как разрешить этот парадокс!
Суть токова. Рассмотрим откуда берётся энтропия на примере компьютерной модели с десятью молекулками, летающими в ящике. Пока мы упрощаем истинную модель таким образом: запретим себе смотреть на скорости молекулок, запретим себе смотреть на положения молекулок по осям Y & Z, запретим себе смотреть на положения молекулок по оси Х иначе как на однобитную величину, "справа ли молекулка от середины ящика", мы превращаем равные объёмы исходного и последующих фазовых пространств в равные объёмы новых фазовых пространств.
Как только же мы запрещаем себе различать молекулки, у нас ситуация "10 слева, 0 справа" соответствует 1/1024 оригинального фазового пространства, "9 слева, 1 справа" — 10/1024, "8 слева, 2 справа" — 90/1024, и так далее. Логарифм этих вероятностей и называется энтропией, причём он логарифм чтобы можно было легко суммировать энтропию по подсистемам.
Теперь поставим систему в состояние (одно из) с минимальной энтропией, "10 молекулок слева". И будем на неё часто-часто смотреть. Через какое-то время она перейдёт в состояние "9 молекулок слева, 1 справа". Через какое-то время она перейдёт обратно с вероятностью 1/10 или в состояние "8 молекулок слева, 2 справа" с вероятностью 9/10. Ну и так далее.
Теперь проблема: рассмотрим какой-то путь системы из состояния "10 молекулок слева" (далее я буду его называть просто "10" etc) в состояние "9" и далее в "8". Конкретно, точку "9". Тут есть какая-то неинтуитивная хрень, потому что из соображений обратимости законов движения молекулок кажется что у нас не должно быть preferred direction, что что-то очень неправильно в том, что когда мы идём по траектории назад, мы переходим в состояние "10", а не обратно в "8". Обратимо же всё, тогда почему так? Особенно ужасно что нельзя предполагать наличие каких-то неоткрытых более фундаментальных физических законов, ибо модель чисто математическая и все её законы мне известны, так что если я чего-то не понимаю, то это только моя проблема!
Так вот, читая рассказ я совершенно удивительным образом (потому что, во-первых, в рассказе про это ни слова, ни намёка, он вообще о другом, во-вторых, потому что я вначале понял решение проблемы, а потом постфактум сформулировал её саму, как если бы у меня какая-то часть мозга над ней постоянно думала в бэкграунде, внезапно увидела в рассказе некую параллель, Всё Поняла, рассказала основному мозгу решение, а потом сформулировала и саму проблему я понял, как на это всё нужно смотреть!
А именно, нужно смотреть в этом самом десятимерном пространстве (вопрос на понимание, кстати, почему там направлений тоже 10, а не 20? на все возможные траектории в нём. Там, конечно, 9/10 траекторий которые входят в точку "9" уходят из неё в точку "8". Однако мы же рассматриваем одну конкретную траекторию, которая начинается из точки "10". Потом она конечно же идёт в основном вниз. И есть точно такая же траектория, которая идёт точно так же вверх, в точку "10" из точки "8", но она очень маловероятная (среди всех остальных траекторий которые выходят из точки "8" причём ровно такая же маловероятная, как вероятность оказаться в точке "10", из которой идёт та конкретная траектория, которую мы рассматриваем потому что мы специально сделали систему в этом дико маловероятном состоянии. То есть это совершенно две разных вещи, смотреть на _какую-то_ траекторию, проходящую через "9", или смотреть на конкретную траекторию на которую мы смотрим только потому, что она проходит через "10" перед этим.
То есть всё совершенно очевидно если так смотреть, и непонятно, зачем об этом писать, пока не вспомнишь, что когда смотрел только на одну выделенную траекторию, было совершенно непонятно, как увязать обратимость физических законов с тем, что она в обратном направлении идёт вверх, в состояние с меньшей энтропией/вероятностью.
@gimli: а ты всё же объясни, к чему ты это сказал. При чём тут "небольшая часть" объёма фазового пространства?

demiurg

А именно, нужно смотреть в этом самом десятимерном пространстве (вопрос на понимание, кстати, почему там направлений тоже 10, а не 20?). Там, конечно, 9/10 траекторий, которые входят в точку "9 молекулок слева, 1 справа" (далее я буду её называть просто "9" etc) и уходят из неё в точку "8". Однако мы же рассматриваем одну конкретную траекторию, которая начинается из точки "10". Потом она конечно же идёт в основном вниз. И есть точно такая же траектория, которая идёт точно так же вверх, в точку "10" из точки "8", но она очень маловероятная (среди всех остальных траекторий которые выходят из точки "8" причём ровно такая же маловероятная, как вероятность оказаться в точке "10", из которой идёт та конкретная траектория, которую мы рассматриваем потому что мы специально сделали систему в этом дико маловероятном состоянии. То есть это совершенно две разных вещи, смотреть на _какую-то_ траекторию, проходящую через "9", или смотреть на конкретную траекторию на которую мы смотрим только потому, что она проходит через "10" перед этим.
Да, это теорема Крукса.
http://en.wikipedia.org/wiki/Crooks_fluctuation_theorem
И вот это неплохой обзор, где они суммировали упражнения Джарзинского, Крукса и Эванса-Сирлса по этой теме за предыдущее десятилетие. В принципе там более или менее то же что у тебя, только строже, с картинками и подробностями.
http://www.annualreviews.org/doi/pdf/10.1146/annurev.physche...

demiurg

@gimli: а ты всё же объясни, к чему ты это сказал. При чём тут "небольшая часть" объёма фазового пространства?
Тема же про эргодичность, а не про необратимость.
Притом что в реальности эргодичность именно это и означает: тебе достаточно просэмплировать вокруг себя, где ты случайно оказался, чтобы понять что происходит во всём фазовом пространстве.

demiurg

Исходное определение эргодичности — в статистической физике, а не например цепях маркова — это то, что усреднение по времени эквивалентно усреднению по ансамблю.
2. Часто пишут в учебниках, что это связано с тем, что можно встать в любую точку фазового пространства, и рано или поздно, траектория пройдёт сколь угодно близко.
 Само это утверждение похоже на определение эргодической матрицы цепи Маркова (если я его правильно помню ну и понятно как из него следует утверждение 1 (или по крайней мере его половина): если ты подождёшь достаточно долго, то ты усреднишь по всему фазовому пространству. Поэтому одной системы (одного опыта) достаточно, просто надо ждать долго.
Вторая половина утверждения 1, это что, наоборот, когда ты усреднишь по разным системам (разным опытам то это то же самое что в одном, но долго. И это не следует само по себе из утверждения 2. Ну, только если в каждом опыте система покроет всё фазовое пространство, но тогда это какое-то тривиальное утверждение, потому что твой один опыт — это просто часть всех. А если ты в каждом опыте просэмплировал по чуть-чуть — и получил средние как будто по полному фазовому пространству — то система эргодична.
Так в реальности и происходит: никто и никогда не может пройти всё фазовое пространство. Поэтому эргодичность заключается в том, что его можно эквивалентно сэмплировать в разных местах, или, в разных местах его свойства одинаковы.
Представь что ты ходишь по некоему ландшафту. Если он более или менее ровный, то ты получишь о нём полное представление погуляв по одному или другому углу поля, тебе не нужно обходить его целиком.
Теперь представь что часть поля сильно изрезанна горами и ямами, и ты оказался в ней. В сильно изрезанном же ландшафте ты за то же самое время только успеешь выкарабкаться из одной ямы, куда ты случайно попал в начале или забраться на гору. Оставшейся части поля ты так и не увидишь, хотя оно ровное, и будешь думать, что тут всё изрезано. Вторая ситуация неэргодична.

luherstag

А я в какой-то момент наткнулся на теорему Лиувилля, и стал подобный парадокс объяснять для себя так.
Допустим мы знаем что-то о начальном состоянии системы. Это значит что в фазовом пространстве выделена некоторая область, и мы знаем что начальное состояние системы лежит в этой области.
Далее система начинает эволюционировать. Область меняется, но сохраняет объём. Поэтому казалось бы информация не должна теряться.
Однако со временем края области будут разлохмачиваться. Поскольку мы не можем смотреть на отдельные молекулы, а тем более на их совместные состояния, нам в своём представлении придётся эту область огрубить до какой-то более или менее вменяемой формы (например, параллелепипеда). От этого её объём возрастёт.
, does that make any sense?

demiurg

Однако со временем края области будут разлохмачиваться. Поскольку мы не можем смотреть на отдельные молекулы, а тем более на их совместные состояния, нам в своём представлении придётся эту область огрубить до какой-то более или менее вменяемой формы (например, параллелепипеда). От этого её объём возрастёт.
Типа область становится фрактальной а наши изначальные переменные не могут этого описать, поэтому мы заберём лишнего?
Не могу сходу сказать, правда ли это и всегда ли так получается. Но по-моему, если и так, то причина необратимости не в этом. Хотя возможно, что это действительно просто другая интерпретация.

natunchik

Теперь представь что часть поля сильно изрезанна горами и ямами, и ты оказался в ней. В сильно изрезанном же ландшафте ты за то же самое время только успеешь выкарабкаться из одной ямы, куда ты случайно попал в начале или забраться на гору. Оставшейся части поля ты так и не увидишь, хотя оно ровное, и будешь думать, что тут всё изрезано. Вторая ситуация неэргодична.
Падажжи, как-то это слишком на пальцах. Мы же сколько угодно можем бродить, и скажем в ситуации с 1000 молекулками нам придётся бродить _очень_ долго чтобы придти в одну из ситуаций когда >990 слева, например.
Можешь привести не очень сложный и не очень надуманный пример неэргодичной системы?
Я по-рабоче-крестьянски так это понимал: есть класс систем у которых граф переходов между состояниями системы ненаправленный. То есть он может казаться направленным на доступном нам уровне информации о системе, но если есть более фундаментальный уровень, на котором он ненаправленный, то всё ОК, система точно эргодична.
А вот если он существенно направленный, то всё может оказаться очень плохо. Необязательно, так система "a->b, b->c, c->a" формально является эргодичной, но по-моему с ней уже что-то очень сильно не то, и можно ожидать что во многих системах построенных по подобным правилам появятся sinks, например. А правильные физические системы всегда построены на ненаправленных графах.
@vlad — ну это как бы не объясняет сам мучивший меня парадокс, по крайней мере не прямо. Вот мы смотрим на состояние "9" и на соответствующий ему объём фазового пространства какой-то из более фундаментальных систем. Он размахрявливается в обоих направлениях времени, причём совершенно одинаково. Как так?
Ну, на самом деле когда мы рассматриваем траектории системы из состояния "10", то они дают не полное состояние "9", а размахрявленное очень особым образом его подмножество. Это подмножество занимает 1/10 его объёма и специально устроено так, что всё переходит обратно в состояние "10" если ты обращаешь время вспять! Да, так тоже можно смотреть и это очень поучительно!

demiurg

Падажжи, как-то это слишком на пальцах. Мы же сколько угодно можем бродить, и скажем в ситуации с 1000 молекулками нам придётся бродить _очень_ долго чтобы придти в одну из ситуаций когда >990 слева, например.
В реальности не сколько угодно. Физические эксперименты и физические процессы происходят за конечное время, и весьма небольшое.
Можешь привести не очень сложный и не очень надуманный пример неэргодичной системы?
Стёкла.

natunchik

> В реальности не сколько угодно. Физические эксперименты и физические процессы происходят за конечное время, и весьма небольшое.
То есть по твоему критерию система из 1000 молекул в ящике — неэргодична?
> Стёкла
Поясни, пожалуйста.

demiurg

Я по-рабоче-крестьянски так это понимал: есть класс систем у которых граф переходов между состояниями системы ненаправленный. То есть он может казаться направленным на доступном нам уровне информации о системе, но если есть более фундаментальный уровень, на котором он ненаправленный, то всё ОК, система точно эргодична.
А вот если он существенно направленный, то всё может оказаться очень плохо. Необязательно, так система "a->b, b->c, c->a" формально является эргодичной, но по-моему с ней уже что-то очень сильно не то, и можно ожидать что во многих системах построенных по подобным правилам появятся sinks, например.
Я специально уточнил, что речь идёт о физической эргодичности, а не об эргодичности матрицы перехода. Там да — если ты в принципе можешь попасть в состояние, то рано или поздно ты в него попадёшь, если нету, как ты сказал, sinks.
На языке энергетических ландшафтов это бы означало бесконечно высокие энергетические барьеры, перейти которые можно только за бесконечное время. Тогда бы фазовое пространство было disconnected, а области отделённые такими барьерами были бы sinks.
И формально получается что если
1) Достаточно долгое усреднение по времени покрывает фазовое пространство
2) Достаточное количество опытов (достаточно большой ансамбль) покрывает фазовое пространство
то совпадения средних тебе гарантированы, просто потому что ты покрыл его полностью.
Но реально средние совпадают и в случае когда ты не покрываешь его полностью, а просто потому что у него такие статистические свойства.

demiurg

То есть по твоему критерию система из 1000 молекул в ящике — неэргодична?
Она скорее всего эргодична. Есть разные количественные штуки которыми можно смотреть на динамику.

demiurg

Поясни, пожалуйста.
Стёкла как правило находятся в локальном энергетическом минимуме, и в течение очень долгого времени, то есть в метастабильном термодинамическом состоянии. А потому что они не знают что очень-очень близко может быть минимум глубже — они его не могут просэмплить из-за слишком выского барьера.
Поэтому например стеклообразные энергетический ландшафт — это на котором куча ям и барьеров разной глубины. Если ты будешь анализировать динамику блужданий на нём, то будет широкое распределение характерных времён — из-за вкладов разных ям — это как раз пример количественной характеристики, по которой можно понять насколько эргодична система.

luherstag

А этот язык энергетических ландшафтов - он только к квантовым системам применим, или к классическим тоже? И подходит ли он для простых систем (т.е. в которых все параметры - макро)?
Вот например как на нём описать ситуацию с круглым бильярдным столом?

demiurg

Я собственно квантовых не имел в виду. А что с бильярдным столом?

demiurg

А потому что они не знают что очень-очень близко может быть минимум глубже — они его не могут просэмплить из-за слишком выского барьера.
Да, и при этом, насколько я понимаю, в термодинамическом пределе — то есть бесконечном стекле — эти барьеры становятся-таки бесконечными, так что даже если кому нужен формализм, то получится система не эргодическая ни в каком смысле.

Martika1

Кстати, а кто-нибудь теперь стёклами занимается? Кроме Доценко. А то такое ощущение, что в 70-х-начале 90-х это была модная тема, а потом всем стало ясно, что в сельском хозяйстве понимание стёкол неприменимо, и затух интерес.

demiurg

Дофига

Arthur8

вот еще коммент нашел в интернетах
По существу эргодическая гипотеза предполагает, что из любого микроскопического состояния системы с заданной энергией в результате эволюции попадёт в сколь угодно малую окрестность любого другого состояния с той же энергией (это называется эргодичностью системы что приводит к равенству средних по времени и ансамблям.
Существует мнение, что эргодическая гипотеза слишком сильное утверждение, ведь для реальных систем за реальные времена она не выполняется (в смысле эргодичности систем а статистическая физика работает. Пример — расчёты молекулярной динамики. Время моделирования на много много порядков меньше времени эргодичности, а результаты адекватные.
Насчёт буквальной применимости эргодической гипотезы к неравновесным системам я сомневаюсь. Есть примеры где она не выполняется совершенно зримо. Но имеют ли эти примеры отношение к статистической физике?
ну короче тут надо конкретно ботать вобщем, но походу это самое дельное описание, тут какиеннить вариации по малому параметру идут и проч
аффтор alien305
http://www.scientific.ru/dforum/common/1316020226

tester1

Л.А. Блюменфельд
СТАТФИЗИЧЕСКАЯ ТРАГЕДИЯ.

Случилось это в фазовом пространстве
Одной из многих замкнутых систем.
Координата после долгих странствий
Устала и измучилась совсем.

Так холодно вокруг, куда не кинься
В рассеянной в системе теплоте...
В одной ячейке обобщенный импульс
Провел с координатой дельта t.

И так их было радостно свиданье,
И так им было хорошо вдвоем
В одном и том же микросостояньи
Средь хаоса, царящего кругом.

Но в физике закон суров и точен,
Сомнет тебя, борись иль не борись.
По прихоти фигуративныых точек
Они по дальним клеткам разошлись.

И вот они уже с другими связаны
И с ним навряд ли встретится она,
Поскольку эргодичность не доказана,
А, может быть, и вовсе не верна.

Случайное случается на свете,
В работу превращается тепло,
Но если ты единственную встретил,
Тебе невероятно повезло.

В системе жизни незаметный атом -
В тоскливой ежедневной суете
Не потеряй свою координату,
Не покорись жестокому kT.

1968

Arthur8

Л.А. Блюменфельд
видал я его пару раз на первом курсе, аффтора этого стихотворения, потом он умер, это какая очень старая гвардия физфака. про него слухи ходили, что якобы у него в сейфе лежал порошок, какоето изобретение. Что наливаешь кран из воды, подсыпаешь этого порошка и получается водка. Уж не знаю, правда это или нет

mtk79

чистейшая правда: слухи ходили

tester1

если
наливаешь кран из воды
то порошки уже не нужны, и без них прёт
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: