Доказать, что биссектриса пересекает сторону

kachokslava

по мотивам сосайти

Martika1

Интуитивно кажется, что для биссектрисы, в отличие от произвольной прямой, проходящей через вершину A, можно "немного" сместить эту вершину в A', оставив две другие B и C неподвижными, так, что старая биссектриса Ab будет пересекать A'B и не будет пересекать A'C. Далее воспользоваться аксиомой Паша.
Допустим, в треугольнике ABC биссектриса Ak не пересекает сторону BC.
Продлим стороны BA и CA на длины AC'=AC и AB'=AB, соответственно (по сути, получаем трапецию BB'C'C с параллельными сторонами BB' и CC').
В треугольнике BB'C биссектриса Ak пересекает сторону B'C по построению, точка пересечения - A. С учётом нашего предположения, будто Ak не пересекает BC, по аксиоме Паша получаем, что Ak пересекает BB'. Аналогично Ak пересекает CC'.
В какой точке пересекает? По построению дополнительного треугольника AB'C' и с учётом того, что биссектриса треугольника ABC совпадает с биссектрисой треугольника AB'C' (ключевое отличие биссектрисы от произвольной прямой в аспекте этой задачи эта точка пересечения K биссектрисы Ak и отрезка CC' должна быть симметричной отн. С и C', а следовательно, это медиана равнобедренного треугольника ACC', а значит, его биссектриса (медиана равнобедренного треугольника является его биссектрисой, это следует из третьего признака равенства треугольников).
Таким образом, луч AK является биссектрисой одновременно углов <BAC (<BAK = <CAK) и <CAC' (<CAK = <KAC').
Таким образом, для заданного угла <CAK и заданного луча AK мы имеем три разных луча AB, AC и AC', определяющих равный угол <BAK=<CAK=<KAC'. Это противоречит одной из аксиом конгруэнтности, согласно которой таких лучей ровно два.
Противоречие доказывает ложность исходной посылки, будто биссектриса Ak может не пересекать противоположную сторону BC.

igor196505

Ну начать обсуждение стоит наверно с того, по какому учебнику геометрии обучался решающий, это определит, на какие аксиомы он может опираться. Во время моего обучения в школе вроде были два основных учебника по геометрии - Погорелова и ещё чей-то, уже не помню автора, аксиомы в них немного отличались.

Arthur8

а сторона, которую пересекает биссектриса, есть? :) :) :)

Rastreador

ну и с определения биссектрисы угла тогда уж тоже.

Damrad

Погорелова и ещё чей-то, уже не помню автора
и Атанасян

igor196505

Конечно. Я думаю доказательство должно быть основано на аксиомах меры и порядка. Из определения биссектрисы и, например, аксиомы "Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами." по идее должно следовать, что биссектриса лежит между лучами, содержащими стороны треугольника. Здесь фразу "между лучами" наверно стоит понимать так, что лучи, содержащие две стороны треугольника находятся в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей биссектрису (и есть единственная точка пересечения в вершине угла). Так как интересующая нас сторона имеет концы на этих лучах, то по одной из аксиом порядка "Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую" получаем, что биссектриса пересекает противоположную сторону.
Формулировки аксиом взял с интернета по Погорелову, так что сильно не бейте если что не так. Задача и состоит в точном дословном знании формулировок аксиом. На самом деле, иногда непросто доказывать очевидные вещи, особенно если у принимающего есть желание придраться к каждому слову, вплоть до слов в аксиомах (например, к слову "между" в аксиоме меры угла можно попридираться).

igor196505

Ага, вроде бы он вторым был.

1853515

школьную аксиоматику вообще не помню, так что мне видится так)
Дано: треугольник ABC, углы a,b,c. Биссектриса AX (X - произвольная точка на ней). Под биссектрисой понимается множество точек Т для которых ^TAC = ^TAB (то, что это прямая, считаем данным
1) если биссектриса не пересекает ни сторону ни прямую на которой та лежит.
=> BC || AX => ^XAB + ^ABC = Pi => сумма углов треугольника > Pi => облом
2) если биссектриса пересекает продолжение стороны AB в точке Y, т.е. ^YAB = ^YAC (и для определенности YC > YB, т.е. точка на продолжении "за" точку B)
Тогда ^YBA = a + c (как внешний к треугольнику ABC) ^YAB = a/2 => ^AYB = Pi - a/2 - a - c
И ^YAC = a/2 => ^AYC = Pi - c - a/2
Но ^AYC = ^AYB => a = 0
ЗЫ ну и еще дано про сумму углов треугольника и про параллельные прямые и углы при них )

1853515

для второго случая даже лучше так, наверное (если признаки равенства треугольников даны):
проведем через Y прямые Ya, Yb параллельные AB, AC и отложим на них точки B',C' такие, что:
1) YB' = YC'
2) ^AYC' = ^YAC, ^AYB' = ^YAB (это возможно в силу параллельности соотв-их прямых)
^YAB = ^YAC => △YAB' = △YAC' (по двум сторонам и углу между ними) => B' совпадает с C' => Ya совпадает с Yb => AB || AC

sashok01

биссектриса - это луч по определению. из того, что она не пересекает прямую, не следует, что она ей параллельна

1853515

ну луч же лежит на прямой, а та либо пересекается либо нет

sashok01

да. но тогда из предположения, что биссектриса не пересекает прямую, следует больше возможностей, чем у тебя описано.
(т.е. ты решаешь другую задачу - доказать, что прямая, содержащая биссектрису, пересекает противоположную сторону треугольника)

1853515

ну я, вроде, доказал, что прямая, содержащая луч-биссектрису, пересекает противоположную сторону
думаю, если ты дашь определение того, какой из двух лучей на этой прямой является биссектрисой, то дальше все будет понятно
ну, либо давай определение и я дальше допишу, исходя из него, чтобы не заниматься телепатией

sashok01

не, теперь все ок. Просто странно читать доказательство, где биссектриса - это прямая, режет глаз.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: