Сгладить сигнум

vc_orlov

Подскажите пожалуйста как можно сгладить слудущую функцию:
если x<0 тогда С
если X>0 Тогда P
Хотелось бы получить непрерывную фунцию, максимально похожую на эту, причем так, чтобы ее можно было два раза проинтегрировать в радикалах.
Спасибо.

Vlad128

Ну если каким-нибудь арктангенсом с большим коэффициентом? Или хочешь, чтобы в точке 0 производная на бесконечность уходила?

vc_orlov

хотелось бы, чтобы была возможность выбора - величина производной против начальной точки отклонения исходной функции от приближающей.

Sergey79

еще есть вариант сперва записать что-то типа
y=x/(x-1/2)/(x+1/2 повернуть на 90 градусов и немного приподнять. Если выйдет не очень резко, то использовать коэффициент x->100*x
Получатся радикалы, которые вполне интегрируются аналитически

vc_orlov

Оригинально нужно вот что:
функция:
x^2*c if x > 0
X^2*p if x<0
Очевидно не имеет второй производной в точке 0. Надо приблизить ее чем-то имеющим ее так, чтобы вне интервала -e до e они совпадали, в точках границы интервала производные до второго порядка включительно совпадали. И очень желательно,чтобы эту функцию было не очень сложно дифференцировать.
Вроде есть какое-то такое сглаживание с экспонентой.

argentum

Рекомендую функцию ошибок. Производная - Гаусс.

Vlad128

А про интегрируемость в квадратурах уже отменили требование?

vc_orlov

она за пределами интервала не ноль. почти ноль, но не ноль. Это плохо. Мне придется ее дифференцировать там тогда.
Проинтегрируемочть отменилось.

lenmas

Взять любую дельтообразную функцию. Тогда первообразная от нее будет функция Хевисайда, которая от сигнума мало чем отличается.

BSCurt


Вроде есть какое-то такое сглаживание с экспонентой.
Про сглаживание с экспонентой на ум приходит самый универсальный способ сколь угодно сгладить, что угодно: свернуть с функцией “шапочки”(которую обычно как раз некоторым способом при помощи экспонент и задают однако для доведения чего-либо до формул способ годиться слабо, но наверное можно вести какие-нибудь долгие и нудные оценки.
А может не париться со сглаживанием, а перейти к обобщенным функциям тогда все в известном смысле дифференцируется на ура. Что уже тут предложили:

Взять любую дельтообразную функцию. Тогда первообразная от нее будет функция Хевисайда, которая от сигнума мало чем отличается.
Ну вобще говоря первообразная только от самой дельта функции будет функция Хевисайда, первообразная от дельтаобразной будет как раз сглаживание функции Хевисайда.
Еще по теореме Вейерштрасса можно многочленами все приближать интегрируется/дифференцируется отлично.

lerroy

Может посмотреть в сторону ступеньки Ферми? (ключевые слова: статистика Ферми-Дирака).

Vlad128

лючевые слова: статистика Ферми-Дирака
честно говоря, очень расплывчатые ключевые слова. Предлагаешь изучить кванты, чтобы понять? :)

seeknote

так эта ступенька ферми вроде и есть [math]$$ \frac{1}{\exp{\frac{\varepsilon - \mu}{kT}}+1}$$[/math]

seeknote

argentum

Я так понял, ОПу нужно, чтобы отличие от сигнума обращалось в ноль везде вне некоторой окрестности нуля, так что ступенька Ферми не годится.

vtdom79

синусом можно приблизить
f=C,x<eps
f=(C+P)/2 + (P-C)/2*sin(x/eps*Pi/2)
f=P,x>eps
Правда, непрерывность будет только до первой производной
АПД. А вообще да, можно многочленом.
f(x) = ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
f(-eps)=C
f'(-eps)=0
f''(-eps)=0
f(eps)=P
f'(eps)=0
f''(eps)=0
Система 6 уравнений, 6 неизвестных. Решаешь, находишь коэффициенты.
Например, eps=1:
a+b+c+d+e+f=1
-a+b-c+d-e+f=-1
5a+4b+3c+2d+e=0
5a-4b+3c-2d+e=0
20a+12b+6c+2d=0
-20a+12b-6c+2d=0
Решение:
a=0.375
b=0
c=-1.25
d=0
e=1.875
f=0

f(x)=-1,x<-1
f(x)=P(x)=0.375 x^5 -1.25x^3 + 1.875x, -1<x<1
f(x)=1,x>1
Для произвольного параметра eps можно сделать замену переменной: f(x)=P(x/eps)
В общем случае будет так:
f(x)=C1, x<-eps
f(x)=(C2+C1)/2 + (C2-C1)/2*P(x/eps -eps<x<eps
f(x)=C2, x>eps
, где P(x)=0.375 x^5 -1.25x^3 + 1.875x
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: