помогите решить задачу по геометрии

Vitaminka

если в треугольнике две биссектрисы равны, то он равнобедренный

griz_a

Хе-хе, а кто сказал, что когда достроишь параллелограмм, то его сторона будет продолжением стороны треугольника. Ты ведь биссектриссу-то никак не использовала

z731a

Треугольник ABC. Биссектрисы AM = CN. Обозначим угол MAC через a, угол NCA через b. В треугольниках AMC и ANC по теореме синусов выполнены соотношения: CN/sin2a=AC/sin(2a+b) и AM/sin2b=AC/sin(2b+a). Исходя из равенства отрезков CN и AM, заключаем, что справедлива цепочка равенств:
sin2b sin(2b+a) = sin2a sin(2b+a)
cos(2a-b) - cos(2a+3b) = cos(a-2b) - cos(3a+2b)
cos(2a-b) + cos(3a+2b) = cos(2a+3b) + cos(a-2b)
cos(a+b)/2 cos(5a+b)/2 = cos(a+b)/2 + cos(a+5b)/2
cos(a+b)/2 (cos(5a+b)/2 - cos(a+5b)/2) = 0
cos(a+b)/2 sin(3a+3b)/2 sin(a-b)/2 = 0
Т.к. a и b - половины углов треугольника ABC, то для них справедливы неравенства:
0<a+b<\pi/2 и |a-b|<\pi/2
Из первого двойного неравенства заключаем, что ни одно из равенств cos(a+b)/2 = 0, sin(3a+3b)/2 = 0 не выполняется. Из второго неравенства и равенства sin(a-b)/2 = 0 заключаем, что a=b. Откуда и следует, что треугольник равнобедренный (AB=BC).

Tiger777

согласна..

resident

а чего так все обьемно ?
неужели вписанная окружность не поможет решить проще ?

griz_a

Извини за ":p". Не со зла
to
В общем, вот решение, потянет?
1) Признак равенства треугольников по углу, его биссектриссе и противолежащей стороне.

Пусть есть два неравных треугольника с такими равными компонентами.
Возьмем и совместим их основания так, что оставшаиеся вершины лежат относительно их общего основания по одну сторону. АВ1С и АВ2С - наши треугольники. Пусть BD - сер. пер. к AC. Если В1 В2 по разные стороны от него, симметрией относительно него приведем их в одну сторону.
В1 и В2 лежат на одной окружности с хордой АС, независящей ни от чего, кроме А, С, общих для всех такого рода треугольников и угла АВ1С=АВ2С, одинакового для всех таих треугольников. Фиксируем В1, а В2 заставим бегать по всей дуге АВ, той же, где лежит В1.
Тогда при уменьшении угла В2DB отрезок В2D будет увеличиваться, как лежащий против большего угла, а отрезок DО, где О - т. пересечения АС и В2D будет уменьшатся. Значит ОВ будет строго расти, т.е. точка В2 совпадет с В1, т.к. для них ои равны по условию.
Что и т.д.
2)

На всякий случай картинки и для тупоугольного и для остроугольного треугольников, хотя разницы никакой.
Теперь АВА1=СВС1 по нашему признаку. Что и т.д.

asseevdm

ищи на слова Теорема Штейнера-Лемуса
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: