Определение неотрицательной матрицы

Piter25

подскажите , а то забыл)

narkom

где применяется понятие? есть два определения: неотрицательные элементы в экономических приложениях и неотрицательные собственные значения в теории матриц.

chepa02


A nonnegative matrix is a matrix where all the elements are equal to or above zero:
[math]$\mathbf{X} \geq 0   \qquad \forall \,i,j \quad x_{ij} \geq 0$[/math]

с неотрицательными собственными значениями - это наверное неотрицательно-определенная матрица

griz_a

Неотрицательно определенная, но часто пишут [math]$A\geq 0$[/math] именно в таком смысле

chepa02

значок-то да неоднозначный, но терминологической путаницы между "неотрицательная" и "неотрицательно-определенная" быть не должно :)

lenmas

неотрицательные собственные значения в теории матриц
Собственные значения могут быть неотрицательными, а матрица может быть и не неотрицательно определенной. Аккуратней! :)

lenmas

В математике редко используется неотрицательная в смысле неотрицательности всех элементов. Обычно под этим понимают неотрицательно определенную. Так же можно и говорить "матрица с неотрицательными элементами" :)

narkom

Собственные значения могут быть неотрицательными, а матрица может быть и не неотрицательно определенной. Аккуратней!
как так? :o

sonik_23rus

а разве не через скалярное произведение определение дается? (Ax,x)>=0

demiurg

Да, определение наверное это, а всякие там критерии Сильвестра и собственные значения — это уже потом принято рассказывать. Хотя, конечно, один хрен.

narkom

Можно и через собственные значения определить, а потом доказать, что скалярное произведение x'Ax >=0. По крайней мере я думал, что эквивалентность там есть :o .

svetik5623190

а разве не через скалярное произведение определение дается? (Ax,x)>=0
Да, именно так. А положительно определённой называется в случае, если из (Ах,х)=0 следует х=0.
По сути, из теории операторов терминология эта пришла.

svetik5623190

Матрицу предполагаем вещественной.
Хотя, конечно, один хрен.
В конечномерном случае уж точно один хрен, потому что там самосопряжённость и симметричность совпадают.
Как показать эквивалентность?.. Если существует базис из собственных векторов матрицы А, то очевидно.
Если есть хоть одно отрицательное собственное число, то очевидно.
Осталось рассмотреть случай, когда (вещественного) базиса из собственных чисел нет, и отрицательных собственных чисел нет.

lenmas

Можно и через собственные значения определить, а потом доказать, что скалярное произведение x'Ax >=0. По крайней мере я думал, что эквивалентность там есть :o .
Возьми матрицу
[math]  $$  \begin{pmatrix}  1&-3\\  0&1  \end{pmatrix}  $$  [/math]
У нее собственные числа --- единицы, а можешь проверить, что (Ax,x) может быть отрицательным.

stm8702073

определения равносильны для симметричных матриц!

lenmas

Я знаю, но разговора про симметричные не было :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: