Полином Лагранжа: добавление новой точки

Ghd125dR

Люди, мне не понятно, почему, если мы добавляем новую точку в разбиение, то этот полином нужно весь заново пересчитывать! Неужели нельзя просто домножить на ещё один соответствующий сомножитель?!

NHGKU2

Не понял, что и на какой сомножитель домножить?

Ghd125dR

Смотрите, полином Лагранжа устроен так:
L(Х) = дробь:
числитель: (X - Х1)*...*(Х - Хi-1)*(X - Xi+1)*...*(X - Хn
знаменатель: (Хi - X1)*...*(Xi - Xi-1)*(Xi - Xi+1)*...*(Xi - Xn)
В книжке написано, что если добавить точку Xn+1, то полином придётся пересчитывать,
т.к. Xi неупорядочены - об этом в условии не сказано. А почему бы при добавлении новой точки не умножить полном на дробь:
числитель: (Х - Xn+1
знаменатель: (Xi - Xn+1)
вместо того, чтобы всё пересчитвать заново?

griz_a

Вообще-то там еще суммирование по i

Ghd125dR

И ещё можете на пальцах объяснить, почему у этого полинома есть свойство символа Кронекера, т.е. когда X совпадает с Xi он равен единице, а когда не совпадает, то нулю?

griz_a

И ещё можете на пальцах объяснить, почему у этого полинома есть свойство символа Кронекера, т.е. когда X совпадает с Xi он равен единице, а когда не совпадает, то нулю?
Если так сформулировать, то свойства нет

Ghd125dR

Нет, суммирование - это уже когда мы решаем задачу интерполяции с помощью полинома Лагранжа, то мы суммируем по всем точкам, а в самом полиноме никаких сумм нет, только произведения!

griz_a

Что это у вас за полином Лагранжа? Как он определяется? И почему их много (в вашей формуле он от i зависит )

Ghd125dR

А что здесь непонятного со свойством? Есть символ Кронекера: если i=j, то дельта = 1, если i != j, то дельта = 0. Индикатор такой. Вот в книжке написано, что полином Лагранжа равен символу Кронекера.

NHGKU2

Полином Лагранжа — это не отдельное произведение, которое там выписано. Это сумма всех произведений, домноженных на f(x_i). Соответственно, при добавлении точки каждое произведение действительно домножается на еще один множитель, но каждое произведение — на свой множитель!

griz_a

А где у полинома Лагранжа два индекса?

Ghd125dR

Хорошо! Но в каждой точке xi значение fi домнажается не просто на какой-то множитель, а на 1.
Не понятно, почему этот многочлен обладает этим свойством.
первый индекс - это то, что мы даём на вход. Я обозначил его через Х, на самом деле в полиноме это будет Хj. А второй индекс - это i.

Ghd125dR

fi в полиноме Лагранжа домножается на единицу только в точке xi, а в остальных точках домножается на 0.

griz_a

Т.е. твои многочлены Лагранжа - коэффициенты при f(x_i) в интерполяционном? Тогда они не обладают таким свойством, они равны X_j-X_i

griz_a

А теперь можешь нормально написать свой многочлен, формулой, без загадочных комментариев?

Ghd125dR

Всё верно, но в книжке написано, что эти многочлены обладаюст свойством символа Кронекера!

Ghd125dR

Ну как я ЗДЕСЬ напишу многочлен в виде дроби? К тому же он известный, и он написан в самом верху у меня.

griz_a

Значит, вероятно, у вас разные понятия о многочлене Лагранжа

Ghd125dR

Мне желательно узнать ваше мнение о многочлене Лагранжа!)

griz_a

О том, что "базисные" многочлены на сетке называют многочленами Лагранжа я или не знал раньше, или не обращал внимания. Поэтому все что могу сказать - в таком виде они не похожи на символы Кронекера

NHGKU2

почему у этого полинома есть свойство символа Кронекера, т.е. когда X совпадает с Xi он равен единице, а когда не совпадает, то нулю?
Это не у полинома есть такое свойство, а у произведений L(x). Если x=x_i, то в числителе написано то же самое, что и в знаменателе, так что получается 1. А если x=x_j, где j отлично от i, то в числителе обязательно один из сомножителей обращается в 0, так что и вся дробь равна 0.

griz_a

Если x=x_i, то в числителе написано то же самое, что и в знаменателе, так что получается 1

Вроде в знаменателе нет x_i-x_i, а в числителе есть?

NHGKU2

нет, в числителе тоже нет.
числитель: (X - Х1)*...*(Х - Хi-1)*(X - Xi+1)*...*(X - Хn
знаменатель: (Хi - X1)*...*(Xi - Xi-1)*(Xi - Xi+1)*...*(Xi - Xn)

griz_a

А! Ну тогда, конечно

vixel

многочлен лагранжа можно посчитать и реккурентно, ботай ЧМЫ

Ghd125dR

что такое ЧМЫ - численные методы чего-то там? Я просто не математик...

griz_a

ну можно, наверное, и что?

vixel

Люди, мне не понятно, почему, если мы добавляем новую точку в разбиение, то этот полином нужно весь заново пересчитывать!
потому как не надо пересчитывать

griz_a

Вроде рекурентная формула-то не первого порядка, так что все равно надо еще один считать
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: