Задача по функциональному анализу

muran

Задача такая
доказать, что пространстово [math]$$R^{\infty}$$[/math] ненормируемо.
Соответсвенно [math]$$R^{\infty}$$[/math] это всевозможные последовательности [math]$$(x_1,..,x_n,...)$$[/math] где[math]$$ {x_i \in R}$$[/math]
Возился с нер-вом треугольника, но что-то не очень получается. Подскажите , плиз.

lenmas

Или я совсем отупел, или задача стандартно-детская, примерно как доказывать, что C^\infty ненормируемо.
То-есть, если R^\infty нормируемо, то в единичном шаре содержится стандартная окрестность, определяемая первыми несколькими координатами. А это означает, что норма оценивается через сумму модулей конечного числа координат. А это будет означать, что сходимость определяется сходимостью по конечному числу координат, что неверно.

muran

То-есть, если R^\infty нормируемо, то в единичном шаре содержится стандартная окрестность, определяемая первыми несколькими координатами. А это означает, что норма оценивается через сумму модулей конечного числа координат.

Че-то вот этого я не понял, можно поподробнее.

lenmas

Че-то вот этого я не понял, можно поподробнее.
Ну то-есть допустим, что пространство нормируемо. Пусть ||.|| --- норма, задающая топологию R^\infty. Так как единичный шар в этой норме --- окрестность нуля (в дальнейшем рассматриваем только окрестности нуля то по определению топологии в R^\infty она содержит стандартную окрестность, задаваемую неравенствами |x_1|<epsilon,...,|x_n|<epsilon, для некоторого epsilon>0 и натурального n. Отсюда следует (читай Робертсонов "Топологические векторные пространства" что ||x||<Cmax(|x_1|,...,|x_n| C=1/epsilon. То-есть из сходимости по первым n координатам вытекает сходимость в R^\infty (которая вообще-то есть сходимость по всем координатам). Пример к тому, что это не так, можешь привести сам.
А вообще Gonobobel'я на тебя нет, он бы тебе быстро все объяснил :grin:

muran

Ну то-есть допустим, что пространство нормируемо. Пусть ||.|| --- норма, задающая топологию R^\infty. Так как единичный шар в этой норме --- окрестность нуля (в дальнейшем рассматриваем только окрестности нуля то по определению топологии в R^\infty она содержит стандартную окрестность, задаваемую неравенствами |x_1|<epsilon,...,|x_n|<epsilon, для некоторого epsilon>0 и натурального n
Вот тут то я и не понимаю, как норма связана с модулями координат, т.е со стандартной топологией. Ее же можно задать совсем произвольно, главное, чтоб 3 аксиомы выполнялись. Соответсвенно и топологию она другую задаст. :(

lenmas

Топология в R^\infty --- это топология покоординатной сходимости. Задается она системой полунорм {|x_k|}_{k=1}^\infty по стандартной схеме. Стандартные epsilon-окрестности в этой системе полунорм как раз то, что было в доказательстве.

muran

Про полунормы я понял, не могу понять одного - почему оценка нормы для выбранной окрестности определяет сходимость во всем пространстве. Причем здесь первые n координат?
PS Спасибо за помощь!

goga7152

не могу понять одного - почему оценка нормы для выбранной окрестности определяет сходимость во всем пространстве. Причем здесь первые n координат?
Полинормированное пространство преднормируемо т. и т.т. когда его семейство полунорм эквивалентно своему конечному подсемейству.

lenmas

почему оценка нормы для выбранной окрестности определяет сходимость во всем пространстве. Причем здесь первые n координат?
Ну так это из предположения следует. Если бы мы не предполагали, что норма задает топологию, то не смогли бы вписать стандартную окрестность в единичный шар (который в случае нормируемости определяет всю топологию). Чтобы ты немного почувствовал эту игру, вот тебе квазинорма (но не норма! определяющая топологию в R^\infty:
[math]  $$  \|x\|=\sum_{k=1}^\infty\frac1{2^k}\frac{|x_k|}{1+|x_k|}.  $$  [/math]
Из этого выражения видно, что нельзя оставить конечное число слагаемых.

muran

Пришло уточнение - на R_\infty не задано никакой стандартной топологии. Т.е. нужно просто доказать, что на бесконечномерном векторном пространстве нельзя задать норму, т.е. фунцию, удовлетворяющую 3-ем соответсвубщим аксиомам.

vsjshnikova

Пришло уточнение - на R_\infty не задано никакой стандартной топологии. Т.е. нужно просто доказать, что на бесконечномерном векторном пространстве нельзя задать норму, т.е. фунцию, удовлетворяющую 3-ем соответсвубщим аксиомам.
А [math]$\sup\limits_{i\in\mathbb{N}} |x_i|$[/math]?

muran

а она не существует

vsjshnikova

а она не существует
Так чожет это использовать? Рассмотрим [math]$c_n = \inf\limits_{|a_n| = 1} ||a||$[/math]. Если есть счетное число ненулевых [math]$c_n$[/math], то норму можно сделать бесконечно большой, а вот если конечное, то хз :(

griz_a

Если есть счетное число ненулевых , то норму можно сделать бесконечно большой

Как?

vsjshnikova

Как?
Пронумеровать и поставить на i-е место i/c_i
Тогда ||a|| = |a_i| ||a/a_i|| >= |a_i|c_i >= i

goga7152

Пришло уточнение - на R_\infty не задано никакой стандартной топологии. Т.е. нужно просто доказать, что на бесконечномерном векторном пространстве нельзя задать норму, т.е. фунцию, удовлетворяющую 3-ем соответсвубщим аксиомам.

Что-то это сомнительно — выбираем базис Гамеля и определяем норму как максимум модуля координат.

lenmas

Что-то это сомнительно — выбираем базис Гамеля и определяем норму как максимум модуля координат.
Вот именно. Можно и просто евклидову норму, не суть важно :) Получится бесконечномерное евклидово пространство :grin:

muran

То есть получится у нас сколько угодно векторов с бесконечной нормой?

goga7152

То есть получится у нас сколько угодно векторов с бесконечной нормой?
Почему? По базису Гамеля (=линейному базису) любой вектор раскладывается в _конечную_ линейную комбинацию.

muran

В бесконечномерном пространстве? Ага!

lenmas

В бесконечномерном пространстве? Ага!
Да, в бесконечномерном. Человек тебе дело пишет :)

muran

В таком виде я не понимаю, можно структурно, а?

lenmas

В таком виде я не понимаю, можно структурно, а?
Базис Гамеля --- это такое линейно независимое множество векторов, что любой вектор представляется в виде конечной линейной комбинации из этих векторов. Из леммы Цорна вытекает, что в любом линейном пространстве (конечномерном, бесконечномерном, неважно) базис Гамеля существует.

muran

Что-то это сомнительно — выбираем базис Гамеля и определяем норму как максимум модуля координат.

Макисмум модуля каких координат?
Как мы определим норму вектора из базиса Гамеля?

griz_a

Любой вектор единственным образом разлагается по базису Гамеля как сумма конечного числа нескольких векторов, базис Гамеля для эр-бесконечность счетный, какие вопросы-то?

muran

Это понятно! Как норма то определяется?

lenmas

Можно я отвечу за _nobody ? :)
Значит, любой вектор
[math]  $$  x=\sum_{k=1}^nx_ke_k,  $$  [/math]
где {e_k} --- базис Гамеля. Вот модули этих коэффициентов и есть норма.
То-есть
[math]  $$  \|x\|_1=\sum_{k=1}^n|x_k|.  $$  [/math]
Естественно, число ненулевых координат у каждого вектора может быть свое, то-есть n=n(x). :)
Можно и такую норму ввести
[math]  $$  \|x\|_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}.  $$  [/math]
В случае бесконечномерного пространства эти нормы не эквивалентны.

griz_a

Ну как с обычным. Выбираем максимум из модулей коэффициентов разложения по базису

muran

Таким образом получается, что в любом! линейном векторном пространстве можно ввести норму? А почему такого замечательнго факта нет в учебниках?
 

assasin

базис Гамеля для эр-бесконечность счетный
Базис Гамеля для эр-бесконечность континуальный на самом деле.

lenmas

Таким образом получается, что в любом! линейном векторном пространстве можно ввести норму? А почему такого замечательнго факта нет в учебниках?
Потому что это детское упражнение :)
Как бы основы миропонимания, недостойные упоминания в серьезном учебнике (типа и так должны понимать). ;)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: