Построить нигде не плотное мно-во заранее заданной меры

Marina32

а- из отр. [0,1].
построить нигде не плотное мно-во меры а.
подозреваю, что надо использовать как-то канторовское мно-во, но не могу придумать, как именно.

Vikuschechka9

Надо выкидывать не треть, а меньше.

NHGKU2

См. книгу Гелбаум, Олмстед "Контрпримеры в анализе", пример 4 главы 8.

filippov2005

А причем здесь канторовское множество? У него же мера вроде 0?
Не совсем конструктив и совсем не решение. Наверное, не подходит под слово "построить":
Рассмотрим рациональные числа из [0,1]. Пронумеруем их. Для каждого n выкинем отрезки длины (1/4)^n, n = 1,2,... содержащий n-ую точку. Оставшееся множество нигде не плотно, т.к. не содержит ни одного рационального числа, а вместе с ним и некоторый отрезок. Оно измеримо (надеюсь). У него есть какая-то ненулевая мера. Если это множество раздуть, то можно получить искомое множество любой меры. Или строить можно только на отрезке [0,1]?
ЗЫ Если я сказал глупость, то сильно не бейте. Теорию меры я напрочь забыл.

Marina32

См. книгу Гелбаум, Олмстед "Контрпримеры в анализе", пример 4 главы 8.   
а что такое совершенное мно-во в этой книге?

Marina32

можно строить на отр. [0,1]
а чем плох первый, способ, предл. в треде?
выкидывать не 1/3, а че-нить, типа (1-а)/3. потом, при сумм. прогрессии, вылезет как раз изначально заданная мера а

afony

Совершенное = нигде не плотное + замкнутое. Причем не только в этой книге.

filippov2005

Не понял. Выкидывая 1/q часть всегда, мы выкинем в конце концов 1/q / 1 - (1 - 1/q) = 1. А лучше считать, что остается - на n-ом шаге остается (1 - 1/q)^n -> 0 для любого q.
Если только все время удалять все меньшую долю...

filippov2005

Неверно. Например, отрезок - совершенное множество. И он очевидно не является нигде не плотным.
 Совершенное множество,
замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, т. е. совпадающее с множеством всех своих предельных точек.
Классическим примером нигде не плотного; С. м. является Кантора множество.
Всякое непустое С. м. евклидова пространства имеет мощность континуума.
Материалы предоставлены проектом Рубрикон
© 2001 Russ Portal Company Ltd.
© 2001 "Большая Российская энциклопедия"

z731a

вместо раздувания множества, можно брать отрезки не (1/4)^n, а отрезки (1/N)^n, где 1/(N-1)<1-a, а полученное множество сжать до нужных размеров
только решение, на сколько я понимаю, не будет конструктивным, потому что мы не можем посчитать меру полученного мн-ва (выкидываемые отрезки могут пересекаться)

filippov2005

А если брать не все рациональные, может сможем посчитать меру? Например, будем рассматривать только дроби со степенью двойки в знаменателе.
Несократимых дробей со знаменателем 2^n ровно 2^(n-1). Покроем каждую такую дробь отрезком диаметром d*( 1/2^[n + n - 1)] где d <= 1. Тогда мера таких отрезков для данного n (эти отрезки для одного и того же n пересекаться не будут) равна 2^(n-1)*d*( 1/2^[n + n - 1)] ) = d*( 1/2^n ). Мера объединения всех отрезков для всех n не будет превосходить d * (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) = d.
Интересно, что ни один из отрезков не выйдет за пределы [0,1]. Так как радиус построенных отрезков меньше, чем расстояние от центра до точек 0 и 1.

z731a

Мера объединения всех отрезков для всех n не будет превосходить d * (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) = d.
оценить меру выброшенного мн-ва мы могли и в первом случае: она <=1/(N-1) (она <=1/3 в случае N=4)

filippov2005

Это да. Но в моем случае мы складываем не совсем геометрическую прогрессию (есть равные числа поэтому решил не лишнем написать, почему получившееся множество не покрывает весь отрезок.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: