Задачка по геометрии теорема Наполеона

491593

На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Их центры образуют равносторонний треугольник.

lenmas

Это задача на движения
P.S. Нафига ты тут флудишь в разделе? :mad:

491593

Нафига ты тут флудишь в разделе?
ты эту задачу имеешь ввиду или другие?

3deus

Это задача на движения
Не помню.
Но можно решить с помощью теоремы косинусов.
Считаем длину x стороны того треугольника:
x^2 = a^2/3 + b^2/3 - 2 ab/3 cos(C+pi/3) = a^2/3 + b^2/3 - ab/3 cos C + ab sin C sqrt(3)/3= (a^2+b^2+c^2)/6 +sqrt(3) S/6, так как
ab cos C = (a^2+b^2-c^2)/2.

491593

ну это точно не божеское решение. еще через декартовы координаты уверен можно :)

assasin

Это теорема Наполеона (того самого если я правильно помню.
Можно решать с помощью комплексных чисел.

a101



На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Их центры образуют равносторонний треугольник.
Пусть треугольник ABC ориентирован "правильно" и пусть центры твоих треугольников O_A, O_B, O_C. Сделаем повороты на 120 градусов против часовой стрелки с центрами O_A, O_B, O_C. Их комбинация - паралельный перенос. Но если взяглнуть на точку B, то она перейдет сама в себя. (B->C->A->B). Значит наше преобразование - тождественное. Теперь смотрим что происходит с точкой O_A при наших поворотах. Вначале она остается на месте (как центр вращения потом переходит в точку D, что углы в треугольнике O_A O_B D 30 + 120 + 30 градусов. Потом обратно в точку O_A (и углы в В O_С O_A тоже 30 120 30). Отсюда угол O_B O_A O_C равен 60 градусов. Аналогично про остальные. Получаем равносторонний треугольник.

lenmas

Эту. А ты думаешь, что другие не являются флудом? Не уверен. :)

ljubo4ka

чисто геометрическое решение.
Очевидно, что окружности, описанные вокруг внешних равносторонних треугольников пересекаются в одной точке О (Построив пересечение двух из них, легко заключить из соотношения углов, что точка пересечения лежит и на третьей).
Далее опять же используя равенства углов, опирающихся на одну дугу вычисляем углы внутреннего треугольника, которые оказываются равными 60.
Немного разные решения для случаев, когда точка О лежит внутри треугольника АВС или вне его.

svetik5623190

В какой проге такие чертежи строить?..

ljubo4ka

Я строил в проге Geometer's sketchpad. Правда у меня только демка. Качаю ее каждый раз, когда вдруг надо что-нибудь нарисовать, например вот оттсюда: gsp demo. Очень удобна для рисования чертежей.
Крякнутую версию как-то давно искал, но не нашел. Если кто найдет и здесь выложит - будет неплохо.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: