Поверхности выпуклых тел

Nusha10

верно ли что если все точки одного выпуклого тела лежат внутри другого выпуклого тела, то площадь поверхности внутреннего тела не больше площади поверхности объемлющего тела?

DarkDimazzz

Если отсечем от выпуклого тела некоторую часть плоскостью, то поверхность, очевидно, уменьшится. Повторяя эту операцию, можно из объемлющего выпуклого тела получить тело сколь угодно мало отличающееся от внутреннего. Так как на каждом шаго площадь поверхности уменьшается, а площадь поверхности "обрезанного" тела стремится к площади поверхности внутреннего тела, то и площадь поверхности объемлющего тела будет больше площади поверхности внутреннего тела. Равенство же площадей будет достигаться только в случае, когда тела равны друг другу.
Доказательство придумал только что, поэтому мог где-то и ляпнуть :)

pahaslav

верно. берём точку внутри и проводим из неё бесконечно малые конусы, которые отображают взаимно однозначно "внутреннюю" площадь на "внешнюю"

elektronik

Почему площадь будет стремиться к площади внутреннего тела?
Приведу пример. Возьмём прямоугольный треугольник. Из середины гипотенузы опустим перпендикуляры на катеты. Получим два маленьких треугольничка, опирающихся на гипотенузу исходного.
Заметим, что сумма длин катетов полученных треугольников равна сумме катетов исходного. С гипотенузами та же фигня.
Проделаем эту операцию ещё раз, и ещё... Эх раз, ещё раз, ещё много, много раз...
Интуитивно длина лесенки, образуемой катетами, то есть, сумма длин этих катетов, стремится к длине гипотенузы.
Тогда получим, что сумма длин катетов равна длине гипотенузы.

DarkDimazzz

В твоем варианте нарушается выпуклость. То, что части отсекаем целыми плоскостями, а не, например, плоскими многоугольниками - существенно.

Nusha10

верно. берём точку внутри и проводим из неё бесконечно малые конусы, которые отображают взаимно однозначно "внутреннюю" площадь на "внешнюю"
площадь поверхности внутреннего тела, высекаемая конусом может быть больше чем высекаемая площадь поверхности внешнего тела тем же конусом

Nusha10

Если отсечем от выпуклого тела некоторую часть плоскостью, то поверхность, очевидно, уменьшится.
согласен
Повторяя эту операцию, можно из объемлющего выпуклого тела получить тело сколь угодно мало отличающееся от внутреннего.
вот тут самое узкое место)
Так как на каждом шаго площадь поверхности уменьшается, а площадь поверхности "обрезанного" тела стремится к площади поверхности внутреннего тела, то и площадь поверхности объемлющего тела будет больше площади поверхности внутреннего тела. Равенство же площадей будет достигаться только в случае, когда тела равны друг другу.
но вроде похоже на правду, спасибо

DarkDimazzz

вот тут самое узкое место
См. определение площади поверхности. Это есть предел площади поверхности многогранников, а указанными плоскостями можно "высекать" такие многогранники (поскольку внутреннее тело выпуклое, то и многогранники выпуклые). Чем мельче разбиение, тем ближе площадь поверхности соответствующего многогранника к площади поверхности внутреннего тела.
Кстати, объемлющее тело может и не быть выпуклым - в доказательстве используется только выпуклость внутреннего тела.

griz_a

а я думал, что меру на многообразии определяют через атлас и меру лебега

Nusha10

См. определение площади поверхности. Это есть предел площади поверхности многогранников, а указанными плоскостями можно "высекать" такие многогранники (поскольку внутреннее тело выпуклое, то и многогранники выпуклые). Чем мельче разбиение, тем ближе площадь поверхности соответствующего многогранника к площади поверхности внутреннего тела.
Кстати, объемлющее тело может и не быть выпуклым - в доказательстве используется только выпуклость внутреннего тела.
есть такая штука - сапог Шварца, там получается неоднозначный предел
см. тут
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1978/05/v_poiskah_opredeleniya...

iri3955

Возьмём сферу и посчитаем интеграл по ней от полщади проекции фигуры на плостость, касающуюся сферы в данной точки.
При условии выпуклости он будет равняться площади поверхности фигуры, умноженной на константу, не зависящую от формы (довольно простая задача, но не уверен, что проще, правда...).
А так как в данном случае подынтегральное выражение для малой фигуры всегда меньше, чем для большой, получаем искомое нер-во.

DarkDimazzz

есть такая штука - сапог Шварца, там получается неоднозначный предел
Есть такая штука. Только она не имеет отношения к обсуждению, так как это вписанный многогранник. С описанными (которые, собственно, здесь и используются) этой неоднозначности не возникает.

cafepark

верно ли что если все точки одного выпуклого тела лежат внутри другого выпуклого тела, то площадь поверхности внутреннего тела не больше площади поверхности объемлющего тела?
Правильнее сформулировать так: если B - выпуклое тело, то всякое тело, содержащее В, имеет площадь поверхности не меньшую, чем у В.
Доказательство. Пусть S - поверхность В. Будем считать, что S гладкая.
Пусть r=r(x) - расстояние от точки x пространства R^3 до S.
Наше утверждение следует из того, что r - гармоническая функция. Действительно, примем этот факт на веру, тогда v= (градиент r) - единичное векторное поле с дивергенцией 0, которое для x из S перпендикулярно S.
Пусть теперь А - тело объемлющее B. Тогда
площадь(А)-площадь(В) >= (поток v через пов-ть А) - площадь(В) = (поток v через пов-ть А) -
(поток v через S) = (интеграл от дивергенции v по зазору A \ B ) = 0.
Всё.

cafepark

Наше утверждение следует из того, что r - гармоническая функция.
Этого не нужно. :o
Для доказательства достаточно, что (оператор Лапласа от r) = (дивергенции v) >= 0 !

cafepark

Для доказательства достаточно, что (оператор Лапласа от r) = (дивергенции v) >= 0 !
Тогда имеем:
площадь(А)-площадь(В) >= (поток v через пов-ть А) - площадь(В) = (поток v через пов-ть А) -
(поток v через S) = (интеграл от дивергенции v по зазору A \ B ) >= 0,
след-но, площадь_ пов-ти(А) >= площадь_пов-ти(В) .

griz_a

Почему поверхность гладкая?
Почему площадь поверхности равна потоку через нее градиента расстояния до другой поверхности?
Как r может быть гармонической, когда для неё очевидно не выполняется принцип единственности?

cafepark

Почему площадь поверхности равна потоку через нее градиента расстояния до другой поверхности?
Этого не нужно. Площадь пов-ти А >= (потоку v) через нее, что очевидно.

cafepark

Почему поверхность гладкая?
Рассматриваем этот случай.
Для негладкой пов-ти В делаем аппроксимацию гладкими пов-тями.

griz_a

откуда берется неотрицательность оператора лапласа? :confused:
и почему верен "очевидный факт" про то, что площадь больше либо равна потоку через нее градиента расстояния?

cafepark

откуда берется неотрицательность оператора лапласа?
Линии тока v - лучи, перпендикулярные S=(граница B и в силу выпуклости В лучики эти "расходятся" в разные стороны, а не "сходятся", поэтому дивергенция (от слова "расходимость") v неотрицательная. :grin:

griz_a

внутри расходятся, снаружи сходятся, а интегрируем мы по промежутку между A и B, где они как раз сходятся :confused:

cafepark

и почему верен "очевидный факт" про то, что площадь больше либо равна потоку через нее градиента расстояния?
по определению потока векторного поля через поверхность,
и потому что векторное поле - единичное.

cafepark

внутри расходятся, снаружи сходятся, а интегрируем мы по промежутку между A и B, где они как раз сходятся
прочти еще раз док-во :(
А содержит B, и эти лучи стартуют с границы S пов-ти В вовне.

griz_a

что здесь подразумевается под единичным полем?

griz_a

как аппроксимировать выпуклую негладкую поверхность выпуклыми гладкими так, чтобы площади поверхностей сходились?

Hana7725

Тогда имеем:
площадь(А)-площадь(В) >= (поток v через пов-ть А) - площадь(В) = (поток v через пов-ть А) -
(поток v через S) = (интеграл от дивергенции v по зазору A \ B ) >= 0,
след-но, площадь_ пов-ти(А) >= площадь_пов-ти(В) .
Откуда равенство площадь(В)=(поток v через S)?

iri3955

А где используется, что B - выпуклое?

griz_a

В неотрицательности дивергенции r в A/B

iri3955

Тогда оно проходит для звёздочных областей... так?

cafepark

В неотрицательности дивергенции r в A/B
В неотрицательности дивергенции v в A/B !

griz_a

Не понимаю, почему? линии поля снаружи звездочки вроде сходятся %)

griz_a

а на мои два вопроса ответить?

cafepark

что здесь подразумевается под единичным полем?

Откуда равенство площадь(S)=(поток v через S)?
Сообразите сами. :)

griz_a

тогда с чего оно единичное?

cafepark

тогда с чего оно единичное?
r(x+ дельта x) - r(x) = дельта x
для (дельта x направленного вдоль (градиент v(x поэтому сей градиент имеет длину 1.

cafepark

направленного вдоль (градиент v(x
направленного вдоль (градиент r(x :o

goga7152

Доказательство. Пусть S - поверхность В. Будем считать, что S гладкая.
Пусть r=r(x) - расстояние от точки x пространства R^3 до S.
Наше утверждение следует из того, что r - гармоническая функция. Действительно, примем этот факт на веру
Этот факт на веру принимать нельзя — эта функция не гармоническая, а удовлетворяет ур-нию эйконала (квадрат ее градиента равен 1).

cafepark

Этот факт на веру принимать нельзя — эта функция не гармоническая
Я уже 8 раз написал, что не гармоническая. :(
Тем не менее моё доказательство верно, ибо для него достаточно, что оператор лапласа от этой функции r=r(x) неотрицательный.

goga7152

Тем не менее моё доказательство верно, ибо для него достаточно, что оператор лапласа от этой функции r=r(x) неотрицательный
Идея выглядит правдоподобно, но доказательства ("размахивания руками" не в счет) я не нашел.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: