Диффреренциальная геометрия, задача

sanyok

Народ, помогите решить задачку, ну очень надо (раздел - дифференциальная геометрия, кривизна пространственных кривых)
Доказать, что если $\gamma$ - замкнутая, регулярная кривая с кривизной k(s то
$\int_{\gamma} k(s) = 2\pi$ - т.н. равенство Фенхеля (s - это длина от начала кривой)
Вознаграждение по факту сдачи зачета гарантирую. Владимир, 8 903 580 54 63

yulial

Мне кажется, условие неточно. Должно звучить так: если интеграл равен 2\pi, то кривая -- плоская. А то иначе среднюю кривизну на погонный метр кривой можно сделать сколь угодно большой.
Соображение такое: этот самый интеграл вроде как есть длина годографа кривой (т. е. линии на единичной сфере, которую чертит вектор скорости кривой, если его отложить от данной точки). Что-то мне подсказывает, что на годографе такой кривой есть пара диаметрально противоположных точек (т. е. на любой регулярной замкнутой кривой есть как минимум пара точек, направление в которых противоположно). Если линия (годограф) на единичной сфере имеет длину 2\pi, то это большой круг, следовательно годограф плоский, следовательно кривая плоская. Для неплоских кривых интеграл больше 2\pi. Может, я где-то ошибся?

sanyok

А как ее решить на плоскости? Т.е. как доказать данное утверждение для плоских кривых?

afony

k(s) - модуль производной вектора скорости при натуральной параметризации. Причем, если я правильно понимаю, в этой задаче k(s) берется со знаком, т.е. если производная вектора скорости сонаправлена внешней нормали, то k(s)<0, иначе k(s)>0. В таком случае интеграл от k(s) - длина пути, заметаемого концом вектора скорости при полном обходе кривой. Но модуль вектора скорости при натуральной параметризации равен единице, т.е. его конец делает один обход по единичной окружности при одиночном обходе кривой, а значит и интеграл кривизны равен длине единичной окружности, т.е. 2\pi.

yulial

А, так речь о плоской кривой. Чего тогда написал про пространственные? На плоскости халява. Всё следует из того, что k(s)=d\phi/ds, где \phi -- угол, под которым проходит касательная к кривой.

beerukoffa

$k(s) = da/ds$, где $a(s)$ -- угол вектора скорости с фиксированным направлением, а $s$ -- натуральный параметр.
$\int_\gamma k(s) ds = \int_\gamma da/ds ds = \int_0^{2\Pi} da = 2\Pi$, т.к. вектор делает ровно один полный оборот.

zilealex

А что Илья Рублев так эту задачу вчера и не решил?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: