Обратная от суммы двух матриц

Andrey56

Когда обратная матрица от суммы двух матриц равна сумме их обратных матриц?
И вообще, такое бывает?
Спасибо.

Sergey79

И вообще, такое бывает?

для матриц типа U(1) решение вроде есть.

mtk79

U(1) — это очень матричные матрицы.
Тем не менее, взяв 1, очевидно, принадлежащую U(1 в качестве обеих матриц, получаем нехорошесть

Sergey79

Тем не менее, взяв 1, очевидно, принадлежащую U(1 в качестве обеих матриц, получаем нехорошесть
а вы возьмите не 1, а что-нибудь другое. Удачи!

Sergey79

да, и если мтарицы недостаточно матричны никто не запрещает воспользоваться аналогом из SO(2). Вряд ли у кого повернется язык назвать матрицы 2*2 неполноценными.

mtk79

Спасибо за пожелание. Сейчас, в век интернетных "дискуссий", это большая редкость.
Взял что-нибудь другое. Не полегчало.

griz_a

[math]$(A+BA^{-1}+B^{-1})=2E+BA^{-1}+AB^{-1}=2E+BA^{-1}+(BA^{-1})^{-1}=E$[/math]
[math]$BA^{-1}=U$[/math]
[math]$U^2+U+E=0$[/math]
А у этого уравнения, если я правильно понимаю, нет вещественнозначных корней
Например, потому что [math]$(U+E/2)^2=-3E/4$[/math]
Определитель отсюда у U+E/2 комплексный.

sverum

Когда обратная матрица от суммы двух матриц равна сумме их обратных матриц?
А когда 1/5 = 1/2 + 1/3?

mtk79

по вторникам

Lene81

Продолжу это рассуждение. По теореме Гамильтона-Кэли, матрица является корнем своего характеристического уравнения. Поскольку оно 2-ого порядка, ищем решение на множестве матриц 2x2. Зададим ее в форме
[math]  $$  U = \left(  \begin{array}{cc}  x_1 & x_2 \\  x_3 & x_4  \end{array}  \right)  $$  [/math]
После этого подставляем ее в уравнение [math]$U^2+U+E=0$[/math] и получаем систему четырех скалярных уравнений максимум квадратичных по переменным [math]$(x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4)$[/math]. Maple дает три решения (подозреваю, что она решается разложением по базисам Гребнера).
1. Матрица U диагональна и на диагонали стоят разные корни уравнения [math]$\lambda^2+\lambda+1=0$[/math], которые, вообще говоря, комплексны и решение мы имеем в комплексной форме.
2. Матрица U нижнетреугольная [math]$x_2=0$[/math], [math]$x_3$[/math] — любой (т.е. семейство однопараметрическое [math]$x_1=\lambda_{1,2}$[/math], [math]$x_4=-\lambda_{1,2}-1$[/math], тут тоже без комплексных чисел не обойтись.
3. [math]$x_2$[/math] и [math]$x_4$[/math] — свободные переменные (двухпараметрическое семейство [math]$x_1 = -x_4-1,\ x_3 = -\dfrac{x_4^2+x_4+1}{x_2}$[/math]
Последний случай особенно интересен, т.к. позволяет говорить о матрицах с целыми (рациональными) коэффициентами. Как найти A и B? Очевидно, достаточно взять произвольную неособую матрицу A и положить B = UA

incwizitor

Последний случай особенно интересен, т.к. позволяет говорить о матрицах с целыми (рациональными) коэффициентами. Как найти A и B?
Переходим от абстрактного к конкретному:
[math]  $A = E,B = \left( \begin{smallmatrix} 0&1\\ -1&-1 \end{smallmatrix} \right)$  [/math]
[math]  $A^{-1} = E, B^{-1} = \left( \begin{smallmatrix} -1&-1\\ 1&0 \end{smallmatrix} \right)$  [/math]
[math]  $(A + B)^{-1}   = \left( \begin{smallmatrix} 1&1\\ -1&0 \end{smallmatrix} \right)^{-1} = \left( \begin{smallmatrix} 0&-1\\ 1&1 \end{smallmatrix} \right)$  [/math]
[math]  $A^{-1} + B^{-1}   = \left( \begin{smallmatrix} 0&-1\\ 1&1 \end{smallmatrix} \right)$  [/math]
Отсюда следует искомое равенство [math]$(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$[/math].

incwizitor

Определитель отсюда у U+E/2 комплексный.
наконец-то я понял ошибку:
определитель [math]$-3E/4$[/math] положителен при четной размерности матрицы
напомню, что комплексные числа замечательно выражаются через матрицы 2x2
[math]$i = \left( \begin{smallmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{smallmatrix} \right)$[/math]
[math]$i^2 + E = 0$[/math]

griz_a

Да, тормознул :(
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: