Построить функцию

forester_200

Товарищи,
Объявляется конкурс на самый простой пример функции, которая удовлетворяет 5 условиям:
1. она определена на всей числовой прямой
2. она бесконечное число раз дифференцируема
3. она финитная, т.е. вне некоторого интервала она равна 0
4. она не совпадает с тождественно равной нулю функцией
5. она задана аналитически (можно кусочно)
Приз — шоколадка :)

griz_a

e^{-(x^{-2}+(x-1)^{-2})} при x из [0,1], 0 иначе

BSCurt

Пункта 5 без скобочек не бывает.

griz_a

Пункта 5 без скобочек не бывает.

Ты не путаешь аналитическую функцию и функцию, заданную аналитически? :)

BSCurt

Это скорее философское утверждение, но попробуй задать "аналитически" что-нибудь финитное.

dmitry131

e^{-(x^{-2}+(x-1)^{-2})} при x из [0,1], 0 иначе
|1 - x^2| + 1 - x^2 не проще ли?

BSCurt

Она не бесконечногладкая.

griz_a

|x| -|x-1|-|x+1| сгодится?

BSCurt

Модули, индикаторы, сигнумы - это на мой взгляд не аналитические вещи.

griz_a

Модули, индикаторы, сигнумы - это на мой взгляд не аналитические вещи.
А когда я напишу функцию
int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \frac{sin(\pi x)}{\pi x} dx
то ты скажешь, что интеграл не аналитическая вещь?

BSCurt

Да, ладно, я слажал.

tester1

Модули, индикаторы, сигнумы - это на мой взгляд не аналитические вещи.
1. модули |x| = sqrt(x^2)
2. сигнумы sign(x) это решение функционального уравнения y(x) |x| =x с начальным условием у(0)=0
3. индикатор множества получается из функции, положительной на множестве и равной 0 вне его путём деления этой функции на её модуль, см. п. 1 :)

tester1

http://yotx.ru/#%211/2_h/ubW/0YM4X9t/2j/YP9g309Kre2v7QE2N...
ну и 0 снаружи интервала (-1,1)

tester1

Вообще, если А - замкнутое множество на прямой, то несложно делается неотрицательная бесконечно гладкая функция, равная 0 в точности на этом множестве
вот она:
 [math]$f(x)=exp(  \frac{-1}{(\inf_{y\in A}|x-y|)^2    }      )   $[/math]
f(x)=exp( -1/ (\inf_{y\in A}|x-y|)^2 )
ну и 0 для х из А

forester_200

|1 - x^2| + 1 - x^2 не проще ли?
2|x| -|x-1|-|x+1| сгодится?

"Угловатая" функция. А мне нужно, чтобы бесконечное число раз была дифференцируемая (п. 2).

forester_200

На мой взгляд, пока лучший пример у тов. "Соболевой":
e^{-(x^{-2}+(x-1)^{-2})} при x из [0,1], 0 иначе

forester_200

Тов. Гонобобель предложил
f(x) = exp( -1 / ( (x-1)^2 (x+1)^2 ) ) на (-1, 1) и 0 вне (-1, 1).
Единственное, надо проверить ее бесконечную дифференцируемость.
Особенно интересны односторонние пределы производных на концах инртервала (при движении по точкам интервала)

griz_a

Штуку с модулем я предлагал в ответ на тезис "нельзя аналитически задать финитную функцию".
А у Гоно, конечно же, бесконечно дифференцируемая функция по тем же причинам, что и моя - экспонента забьет любой многочлен.

kachokslava

она в точках ±1 равна нулю и все её производные равны нулю
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: