Сравнить sqrt(2) + sqrt(3) и pi

margo11

кто-нибудь возьмется?

sagemma


sqrt(2)+sqrt(3)-pi
0.004671716352179103866491682436067561315307729812222880257542125135

Дааа. Как-то видимо тяжко будет

Zoltan

заменяй на 3.142 и сравнивай

griz_a

Ряд для пи я не помню, но подсчет показал, что сравнения с описанным 64-угольником не хватает. Далее не стал проверять...

sagemma

\Sum 1/n^2 = \pi^2/6 — кажется так было. Я уж тоже не помню

griz_a

Ряд-то такой, но опять же и первых 25 квадратов не хватает...

Leonsav

Arctg 1=\pi/4.
\pi=4(1-1/3+1/5-1/7... если я правильно помню ряд для arctg. Он сходится быстро. Обычно его используют при вычислении \pi.

naami_moloko

pi>0, sqrt>0, sqrt(2)+sqrt(3)<pi ====> 10<pi^2+pi^(-2). Если показать, что второе неравнство не выполняется (или не выполняется зквивалентное первому 2*sqrt(2)<pi-pi^(-1 или соответственно 0<pi*pi-2*sqrt(2)*pi-1) => сумма корней будет больше

griz_a

Ты по-моему сглючил. pi^(-2)-то оценено с другой стороны

griz_a

Попробуй сам, фигли. Я описывал 64-угольник и нифига не хватило....

naami_moloko

Для опровержения второго неравенства достаточно доказать, что pi<3.1462 (и например больше 1)

margo11

Если уметь доказать что pi<3.1462, то может просто потом доказать, что sqrt(2) + sqrt(3) > 3.1462 и все?
в общем, вопрос открыт

elektronik

Ребята, что мучаться-то?!
Во-первых, я считаю, что задачка "школьного типа"... Во всяком случае, считаю, что не надо изобретать велосипед и считать число \pi известным, то есть известным его приближение, оценочные неравенства: 3,14159265358<\pi<3,14159265359
На самом деле достаточно взять три знака после запятой...
С другой стороны, все или многие из вас, полагаю, ещё со школы знакомы с известным соотношением:
\pi < 22 / 7 (= 3, (142857.
А получить соотношение \sqrt 2 + \sqrt 3 > \frac{22}7, думаю, не составит для вас никакого труда...

margo11

А получить соотношение \sqrt 2 + \sqrt 3 > \frac{22}7, думаю, не составит для вас никакого труда...
Это может оказаться трудно, особенно учитывая то, что это неверно...

elektronik

> Это может оказаться трудно, особенно учитывая то, что это неверно...
круто!
Но, посмотрим:
22/7              = 3,142857142857142857142857142857...
\sqrt 2 + \sqrt 3 = 3,1462643699419723423291350657155...
Значит, верно. А проверить можно возводя в квадрат (оба числа положительные) и прибавляя (вычитая) одно и то же число!

griz_a

Не бузи. Чего зря флудить-то. Какая разница, с чем сравнивать. По-моему, так с sqrt(2)+sqrt(3) лучше. А личные побуждения тут вообще не причем. Легче всего через ряд я так полагаю, но тоже очень геморройно.....

elektronik

Можно я побузю?! А то сегодня день нехороший получается: комп сгорел, похоже -- сижу у соседа за компом...
2: сейчас не могу сказать сходится ли ряд, предложенный вами, к \pi / 4, но, по-моему, используют другие соотношения, поскольку, такой ряд не столь быстро сходится...
Ряд для arctg: (arctg x)' = 1 / (1+x^2) = 1 - x^2+x^4... |x| < 1
arctg x = x - x^3 / 3 + x^5 / 5 ... |x| < 1 (у вас же x = 1)
Далее, например,
\pi / 4 = arctg 1/4 + arctg 3/5 (хоть и два ряда, но сходятся они, согласитесь, быстрее)
\pi / 4 = arctg 1/2 + arctg 1/3
и тд..

Zoltan

>Обычно его используют при вычислении \pi
ряд Лейбница для вычисления пи никто не использует. даже формула Виета для пи сходится быстрей.
обычно же используются формулы Рамануджана.

elektronik

Можно поподробнее?!
Я вот расписал, как смог, свою точку зрения...

Marina32

можно кубы взять
\sum 1/n^3 = (pi^3)/24

NHGKU2

это неверно.
может тогда уж четвёртые степени?
\sum 1/n^4 = (pi^4)/90

Vikuschechka9

прикольно, вроде верно... И Мэпл об этом знает

stm7537641

И Мэпл об этом знает
А еще: ζ(6)=π^6/(3^3*5*7 ζ(8)=π^8/(2*3^3*5^2*7..., ζ(12)=691*π^12/(3^6*5^3*7^2*11*13)

naami_moloko

Если уметь доказать что pi<3.1462, то может просто потом доказать, что sqrt(2) + sqrt(3) > 3.1462
Для тех кто в танке - если доказать что pi<3.1462 => (это импликация, хм) сумма корней больше пи. Зачем ещё что-то доказывать?

griz_a

Для тех кто в танке - докажи уже, а не пости херню всякую. А то поднимают, поднимают, а руками никто ничего не делает

Mike3

зачем руками, когда можно головой?

galka1

здесь рулят синусы и косинусы

kachokslava

Разложим синус по тейлору -
sin(x)>x-x^3/6 (на отрезке 0..pi/2)
sin(pi/6)=0.5
sinsqrt(2)+sqrt(3/6)>(sqrt(2)+sqrt(3/6-1/6^4*(2sqrt(2)+6sqrt(3)+9sqrt(2)+3sqrt(3=
=sqrt(2)*(205/1296)+sqrt(3)*(207/1296)
осталось сравнить с 0.5
(sqrt(2)*205+sqrt(3)*207) V 648
(sqrt(2)*205+sqrt(3)*207)>1.41*205+1.73*208=648.89 > 648
считаю, что умножение трёхзначных чисел можно делать и без калькулятора - на бумажке (двузначные надо в уме умножать)

margo11

Вот это похоже на цивильное решение (цивильное в том смысле, что оно не использует информации о том, какими рациональными числами приближается число pi). Спасибо
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: