Решить простое дифференциальное уравнение

Priss

Уже целый час не могу решить простой на вид диффур:

(y'+2y)y"=(y')^2
пробовал понижать порядок - понижается легко (как по Филипову но потом выходит какой-то нерешаемый ужас.
Пробовал преобразовывать и подбирать функцию так чтобы обе части уравнения были производными этой функции.. не получается
Помогите, пожалуйста, очень нужно решить!
Может я сильно в чем-то глючу? Пример должен легко решаться по идее...

Iron18

Y=0

NHGKU2

Понижаешь порядок уравнения: y'=p(y). Получается уравнение p'(p+2y)=p. Это уже однородное уравнение, т.к. может быть записано в виде p'=(p/y)/(p/y + 2). Его можно решить, положив p=ty.

Priss

блин, мне совсем не смешно...
п.с. ..или ты хочешь сказать что других нет?

Priss

да, так тоже пробовал.
Получается
t^{-2}+t+1=y
а что с ним дальше делать?

NHGKU2

Переходи обратно к переменной p. Должно получиться Cp^2 = p + y, т.е. C(y')^2 - y' - y = 0. Так как независимая переменная не входит в уравнение, можно ещё раз понизить порядок, взяв за независимую переменную у.

Priss

пересчитывая еще раз:
 
ydt=t/(t+2)dy - tdy
-(t+2)/(t^2+t)dt=dy/y
интергрируем и получаем:
t^-2 * (t + 1) = cy
а дальше?

Priss

п.с. сорри, налажал при потенциировании

NHGKU2

Точнее, решать уравнение y = C(y')^2 - y' лучше методом введения параметра y'= p.

Priss

да, действительно получилось
cp^2=p+y

Priss

а зачем опять нужно p?

NHGKU2

Ну если знаешь другой способ - решай им
Разрешать это уравнение относительно y' - как-то... неправильно. Получается кака.

Priss

Ну если знаешь другой способ - решай им
Разрешать это уравнение относительно y' - как-то... неправильно. Получается кака.
ээ.. тогда я тебя не понял. Как это через параметр p решать? Объясни, плиз.
я подругому кроме как разрешая отн производной и не умею.. А в чем 'кака'?

NHGKU2

Как это через параметр p решать?
я подругому кроме как разрешая отн производной и не умею..
Посмотри в Филиппове главу "Уравнения, не разрешённые относительно производной". Там как раз есть метод введения параметра. В результате у тебя получится решение, заданное в параметрическом виде: x = x(p y = y(p).
А 'кака' в том, что если ты разрешишь уравнение относительно производной, то неясно, что делать дальше и как это решать.

Priss

прочитал.
ну да, мы получили y=cp^2-p, а как найти x=x(p если x там вообще не фигурирует?

NHGKU2

Там же написано.
Нужно взять дифференциал от обеих частей равенства y = Cp^2 - p и воспользоваться тем, что dy = p dx. Из полученного диффура выражаешь х через р. А у(р) у нас есть уже готовое: y(р) = Cp^2 - p.

Priss

да, точно, понял наконец.
Большое спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: