Пространство Соболева

z731a

Как доказать, что, если функция f принадлежит пространству H^1(Q то её модуль |f| также принадлежит этому пространству?

z731a

нАПомню определение H^1(Q):


Определение обобщенной производной:

avgustinka

а напомни, плиз, что такое _loc?

elektronik

f \in L_{2, loc} (Q)
Это значит, что на любом компакте K из Q функция f \in L_2 (K).
То есть с локально интегрируемым квадратом модуля...

z731a

В определении фигурирует _loc только потому, что Q может быть неограничена (все R^n, например). Для ограниченных Q в этих определениях _loc можно убрать, кроме условия финитности функции g(x).

halithh

Предложение: построим |f|' в явном виде. Пусть
|f|' = f', если f>=0 и |f|' = -f', если f<0. Нужно показать, что она является производной |f|.

elektronik

А вот сверху g(x) стоит черта. Предполагается, что наши функции комплекснозначные?!
С ними, пожалуй, будет тяжелее. С вещественными, скорее всего, будет так, как сказал .

z731a

Нужно показать, что она является производной |f|.
В этом как раз и заключается проблема

z731a

Быть может, надо идти какой-то другой цепочкой рассуждений.

z731a

Можно предполагать, что все функции действительнозначные.

z731a

Хоть какие-то идеи есть?

afony

По-моему надо сначала рассматривать случай бесконечно гладкой функции f, тогда переход (*) корректен, так как на границе областей Q\cap{f>0} и Q\cap{f<0} либо f=0, либо g=0. В общем же случае берем последовательность {f_n} бесконечно гладких функций, сходящихся к нашей в H^1(Q). Тогда |f_n| сходится в L_2(Q) к |f|, а последовательность {sign(f_nf_n)'_{x_i}} фундаментальна в L_2(Q) в силу фундаментальности {(f_n)'_{x_i}} в этом пространстве. Теперь мы можем перейти в нашем равенстве (*) к пределу по n. Т.е. функция h_{x_i}\in L_2(Q) - предел последовательности {sign(f_nf_n)'_{x_i}} - является обобщенной производной функции |f| по x_i. Что и требовалось.

z731a

Спасибо за идею
Но остались 2 вопроса:
1) почему из фундаментальности последовательности {(f_n)'_{x_i}} следует фундаментальность {sign(f_nf_n)'_{x_i}}?
2) что делать с областями Q, для которых в пространствах Соболева H^1(Q) бесконечно гладкие функции не плотны? Но этот вопрос не критичен

afony

Пока что на уровне идей (может потом более строго обосную):
1) Если sign(f_n)=sign(f_m) (обозначим множество таких x через A(m,n то |sign(f_nf_n)'_{x_i}-sign(f_mf_m)'_{x_i}|=|(f_n)'_{x_i}-(f_m)'_{x_i}|. А мера множества B(m,n) тех x\in Q, в которых sign(f_n)\ne sign(f_m) стремится к нулю (при min(n,m)->\infty так как стремится к нулю мера тех x, при которых sign(f_n)\ne sign(f) или sign(f_m)\ne sign(f) (это рассуждение работает для f\ne 0 почти всюду, ведь нам известно, что f_n->f в L_2(Q) ). Таким образом, \int_Q |sign(f_nf_n)'_{x_i}-sign(f_mf_m)'_{x_i}|^2 dx=\int_{A(m,n)} |(f_n)'_{x_i}-(f_m)'_{x_i}|^2 dx + \int_{B(m,n)}|sign(f_nf_n)'_{x_i}-sign(f_mf_m)'_{x_i}|^2 dx \le \int_{Q} |(f_n)'_{x_i}-(f_m)'_{x_i}|^2 dx + \int_{B(m,n)} |(f_n)'_{x_i}|+|(f_m)'_{x_i}| dx. Стремление второго интеграла к нулю будет следовать из равномерной абсолютной непрерывности интегралов {\int |(f_n)'_{x_i}}| dx}_n и mes B(m,n) -> 0.
2) Достаточно провести доказательство для любого шара B\subset Q, тогда, из |f|\in H^1(B) для любого такого B будет следовать |f|\in H^1(Q).

z731a

Спасибо Точнее уже и не надо

afony

Пожалуйста, надеюсь поможет. Я год назад с УРЧП помучился, может хоть сейчас что-нибудь из тех знаний пойдет на пользу .

z731a

Сдал сегодня днем уже Знания пригодились Передам их потом по наследству

roman1606

отчёт сдавал?

z731a

Внешний ВАК

z731a

Вот этот момент в доказательстве мне не нравится:
А мера множества B(m,n) тех x\in Q, в которых sign(f_n)\ne sign(f_m) стремится к нулю (при min(n,m)->\infty так как стремится к нулю мера тех x, при которых sign(f_n)\ne sign(f) или sign(f_m)\ne sign(f) (это рассуждение работает для f\ne 0 почти всюду, ведь нам известно, что f_n->f в L_2(Q) ).
f может быть равно 0 на множестве положительной меры. В силу достаточной произвольности этого множества, мы не можем утверждать, что f'=0 (а, следовательно, (f_m)' и (f_m)' стремятся к 0).

afony

Пусть f=0 на некотором замкнутом множестве F положительной меры. Покажем, что для всех i ф-ия f':=f'_{x_i}=0 п.в. на F.
Рассмотрим произвольную бесконечно гладкую в окрестности мн-ва F функцию h. Возьмем последовательность бесконечно гладких функций {g_n}->h в L_2(F) с ||g'_n||_{L_2(Q)}<C=const и носителями F_n, для которых mes(F_n\ F)->0. Имеем \int_Q f \cdot g'_n dx = -\int_Q f' \cdot g_n dx. Первый интеграл стремится к нулю, так как (\int_{F_n} |f| \cdot |g'_n| dx)^2 \le \int_{F_n} |g'_n|^2 dx \cdot \int_{F_n} |f|^2 dx \le C^2\cdot (\int_{F_n \ F} |f|^2 dx ) -> 0. Второй же интеграл стремится к \int_{F} f' \cdot h dx, так как (\int_{F} f' \cdot (g_n-h) dx + \int_{F_n\F} f' \cdot g_n dx) -> 0. Получаем, что \int_{F} f' \cdot h dx=0 для любой бесконечно гладкой в окрестности мн-ва F функции h. Т.е. f'=0 п.в. на F.
Любое измеримое множество положительной меры можно исчерпать изнутри (с точностью до меры 0) замкнутыми множествами. Следовательно, f'=0 п.в. на множестве {x: f(x)=0} (а, следовательно, (f_n)' и (f_m)' стремятся к 0 в L_2 на {x: f(x)=0} ).

z731a

Прикольно Надо было в детстве действ.ан. учить получше

z731a

А если множество F - это, допустим, шар и h=1 на F. Тогда, если я не ошибаюсь, мы не сможем взять "последовательность бесконечно гладких функций {g_n}->h в L_2(F) с ||g'_n||_{L_2(Q)}<C=const и носителями F_n, для которых mes(F_n\ F)->0". Грубо говоря, на множестве F\F_n функции g_n делают скачок от 0 до 1, и поэтому их производные обратно пропорциональны мере F\F_n (т.е. \int_{F\F_n} |g'_n|^2dx~1/(мера(F\F_n. В этом случае, конечно, из f=0 автоматически следует, что f'=0, но доказательство не проходит.

afony

Замечание правильное. Нужно более тонкое рассуждение: используя ядра усреднения w_e:=e^{-n}w(t/e) (e->0 - эпсилон, ||w||_{L_1}=1, w - б.г. неотр. финитная с носителем в единичном шаре) и свертку h*w_e (на F можно получить последовательность функций g_e->h в L_2(F) (e->0) и ||g'_e||_{L_2(Q)}\le C/e для некоторой C=const; тогда для того, чтобы доказательство проходило, нужно \int_{F_e} |g'_e|^2 dx \cdot \int_{F_e} |f|^2 dx ->0, то есть \int_{F_e \ F} |f|^2 dx(=\int_{F_e} |f|^2 dx) = o(e^2) (здесь F_e:= supp(g_e o(e^2) - о маленькое от e^2 при e->0 ). А утверждение, аналогичное \int_{F_e \ F} |f|^2 dx=o(e^2 действительно верно! (см. Лемму 1, Гл.3, параграфа 5 из Михайлова, не поленись посмотреть ). Так что доказательство проходит после некоторых доработок, но обрастает дополнительными техническими трудностями.

z731a

Опять же, откуда следует утверждение, что
можно получить последовательность функций g_e->h в L_2(F) (e->0) и ||g'_e||_{L_2(Q)}\le C/e для некоторой C=const
Ядра усреднения имеют ту же самую особенность - скачок, только уже размазанный у самих ядер Например, w_h(x)=e^(-h^2/(h^2-x^2 и усредняем функцию g=1 на отрезке [-1,1]:

afony

Хорошо, напишу подробнее. Пусть w(x) - б.г. в R^n неотр. финитная с носителем в единичном шаре |x|<1, ||w||_{L_1(R^n)}=1. Пусть также h\in L_2(R^n). Положим w_e(x):=e^{-n}w(x/e). Тогда для любого e>0 носитель функции w_e(x) лежит в шаре |x|<e, ||w_e||_{L_1(R^n)}=1. Определим ф-ию g_e(x) равенством g_e(x):=\int_{F} h(y)w_e(x-y)dy= e^{-n}\int_{F} h(y)w( (x-y)/e ) dy. Известно, что g_e -> h в L_2(F) при e->0. Имеем g'_e(x)= e^{-n-1} \int_{F} h(y)w'( (x-y)/e ) dy ( ' - дифференцирование по i-ой координате для произвольного фиксированного i ). Следовательно, по неравенству Коши-Буняковского |g'_e(x)|^2 \le e^{-2n-2} (\int_{B(x,e)} |h(y)|^2 dy)\cdot(\int_F |w'( (x-y)/e )|^2 dy где B(x,e):={y: |x-y|<e} содержит носитель функции w'( (x-y)/e ). Имеем \int_F |w'( (x-y)/e )|^2 dy = e^n \int_{y: ey\in F} |w'( x/e-y )|^2 dy \le C_1\cdot e^n. Отсюда \int_{R^n} |g'_e(x)|^2 dx \le C_1e^{-n-2} \int_{R^n} \int_{B(x,e)} |h(y)|^2 dy dx = C_1e^{-n-2} \int_{R^n} \int_{B(0,e)} |h(x+y)|^2 dy dx = C_1e^{-n-2} \int_{B(0,e)} \int_{R^n} |h(x+y)|^2 dx dy = C_1e^{-n-2} \cdot mes_n{B(0,e)} \cdot ||h||^2_{L_2(R^n)} = C_2e^{-2}. То есть ||g'_e||_{L_2(R^n)}\le C/e.

Irina_Afanaseva

так как модуль функции равен произведению ее на её же знак,
приблизим |f| произведениями f на g(nf)
где гладкая монотонная g(x) равна -1 при x< -1 и равна +1 при x>1.
то есть шаг 1: f(x)g(nf(x \in H^1 если f\in H^1
и шаг 2: оценки L_2-сходимостей таких произведений и их первых производных к соответственно
f(x)\sgn(f(x и f'(x)\sgn(f(x

Irina_Afanaseva

производные f'=f'_{x_k} конечно обобщенные (из L_2 и по каждой переменной оценить отдельно.

Irina_Afanaseva

вообще, элементы пространства Соболева лучше понимать как такие регулярные обобщенные функции
(из D'(\Omega) чьи измеримые представители принадлежат L_p и чьи обобщенные производные до нужного порядка тоже регулярны и имеют представителей из L_p.
Вот с этими представителями и можно работать, применяя теоремы сходимости интегралов, типа Лебега и Фату

z731a

Всем спасибо Разбираться надоело

Irina_Afanaseva

пожалуйста
И мне полезно было вспомнить.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: