Исследование устойчивости по Ляпунову

xuliganstvo

Везде в доступной литературе встречаю критерий устойчивости для нулевого решения.. Если мы не знаем значение положения равновесия системы, но знаем, что это положение равновесия есть(можем найти его численно можем ли мы как-то исследовать его на устойчивость при помощи функции Ляпунова?
То есть, необходимо ли знать точку, в которой правая часть системы равна нулю для построения функции Ляпунова?
Помогите плз советом или ссылками на литературу по этому вопросу :--

Fortune

Если известно, что точка принадлежит многообразию положений равновесия системы, то да. Точка принадлежит многообразию положений равновесия системы тогда, когда в ней потенциальная энергия достигает экстремального значения (ну и она удовлетворяет связям).
В неголономных системах, например, всегда есть много положения равновесия, так что там так и поступают.
Это как бывает. А что конкретно у вас не ясно.
То, о чем писала я можно у Неймарка, Фуфаева в "Динамике неголономных систем" почитать.
А просто про устойчивость кто-то из моих знакомых читал у Малкина.

vovatroff

Точка принадлежит многообразию положений равновесия системы тогда, когда в ней потенциальная энергия достигает экстремального значения (ну и она удовлетворяет связям).
А равновесия шарика на горизонтальной плоскости не в счет?

xuliganstvo

Да, интересно :-- Спасибо! Если абстрагироваться от механики и рассматривать произвольную автономную систему вида X'=f(X то точка равновесия - любое решение уравнения f(X)=0. Вопрос в следующем - необходимо ли НАХОДИТЬ решение уравнения в явном виде, делать замену X=X-решение, и затем рассматривать устойчивость нулевого решения системы при помощи функции Ляпунова, или есть методы исследования БЕЗ явного нахождения этого положения равновесия?
У меня некая биологическая система - общий вид
x'=-x^3+3*x+2+i-y
y'=a*(1+tanh(x/b-y
a,b,i - некие числа, параметры системы..

Fortune

Попробуйте сделать так: сделать линейную замену x, чтобы в правой части не стало свободного члена. Тогда x=z+A (А выбирается так, чтобы после подстановки убился свободный член в правой части) .Потом разложить во втором уравнении тангенс в ряд Тейлора в точке z= -A и сделать линейную замену y, так, чтобы избавиться от свободного члена во втором уравнении. А дальше рассмотреть устойчивость по первому приближению. Система будет z'=Kz+Lu +(... u'=Mz+Nu+(...). Ее характеристическое уравнение r^2-(K+N)r+NK-ML=0. Если действительные части r1, r2 лежат в левой полуплоскости, то нулевое решение системы (после замены) асимптотически устойчиво. Если хотя бы одна действительная часть больше 0, то неустойчиво. Если обе действительные части 0, то просто устойчиво (центр). Если есть нулевые корни, то вам надо почитать книжку Малкина, так как я уже не помню соответствующую теорему и не хочу вас путать.
Вроде так.

lena1978

а если точек равновесия не одна, а, например, две. и одна устойчива, а другая нет? то что этот гипотетический метод должен на выходе говорить?

xuliganstvo

Да, видимо, все же необходимо переместить начало координат в точку равновесия, и затем искать функцию Ляпунова или лианеризовать.. Спасибо всем за ответы!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: