Пространство c_0 никому не сопряжено?

soldatiki

Есть авторитетное мнение, что пространство последовательностей, стремящихся к нулю, с супремум-нормой не может быть изоморфно сопряженному ни для какого нормированного пространства. Кто знает, почему, поделитесь соображениями.

soldatiki

Пока все, что приходит в голову, - предположить противное и сразу считать, что пространство X, к которому сопряжено c_0, - это некотрое замкнутое подпространство в l_1 (втором сопряженном к X). Тогда можно пытаться, например, показать, что в c_0 не выполняется теорема о *-слабой компактности единичного шара или еще какое-нибудь свойство сопряженных пространств. Но даже если мыслить X вложенным во втрое сопряженное, все равно неясно, что с этим всем дальше делать.

z-helenium

 Оно не полно => не может быть сопряженным.

lenmas

Да ты что?

trega

Надо где-то найти формулировку теоремы Крейна-Мильмана..там что-то типа: если что-то там..то единичный шар не является компактом ни в какой топологии

sany81

это я

soldatiki

выпуклый компакт является выпуклой оболочкой своих крайних точек - теорема К-М

soldatiki

Крайними точками для шара будут, очевидно, вектора (=последовательности у которых одна из координат по модулю в точности равна единице. Ну, вроде, каждая точка либо крайняя, либо получается выпуклой комбинацией из крайних. Противоречия нет. Кстати, я ничего не забыл в формулировке? Там не говориться ничего о количестве этих крайних точек?

sany81

ну да, а единичный шар в с_0 не имеет крайних точек

soldatiki

А,всё, ясно. Крайние точки-то есть, но их маловато. Напрмер, последовательность одна энная нельзя представить в виде конечной выпуклой комбинации крайних точек (=векторов, где компоненты либо ноль, либо один). Только вот вопрос: в теореме КМ выпуклая комбинация обязана быть конечной или может пониматься в смысле суммы ряда?

manggol

Только вот вопрос: в теореме КМ выпуклая комбинация обязана быть конечной или может пониматься в смысле суммы ряда?
не конечная и не сумма ряда, а интеграл по некоторой мере. Крайних точек может быть несчетное количество.

soldatiki

Чего? Какая там мера в теореме КМ?
Я вот думаю, что в формулировке есть слово "замкнутой" (выпуклой оболочки). Потому что должна же где-то фигурировать топология (в нашем случае - *слабая). Но тогда можно без проблем приблизить последовательность 1/n выпуклыми комбинациями финитных единичных последовательностей (все единицы до k-ого места, дальше нули причем, даже равномерно, а не только в слабой* топологии.

soldatiki

Отставить! точки (1,...,1,0,0,...) не являются крайними, так как можно взять (1,-1,0,0,...) и (1,1,0,0,...) и в качестве выпуклой комбинации получить (1,0,0,...). Кажись, не будет в шаре c_0 крайних точек.
По поводу интеграла: действительно, выпуклой комбинацией называется интеграл от переменного вектора по любой борелевской мере, такой что мера всего множества крайних точек равна 1. Этот (вектрнозначный) интеграл в теории вероятностей называется первым моментом меры.

lenmas

выпуклый компакт является выпуклой оболочкой своих крайних точек - теорема К-М
Замыканием выпуклой оболочки своих крайних точек. Обычно формулируется для сопряженного к банаховому пространству и *-слабой топологии в нем.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: