Аналитическая функция, мера прообраза нуля

kravecnata

У любой аналитической функции из R^n в R прообраз нуля имеет лебегову меру нуль.
Меня пытаются убедить, что вышепроцитированное утверждение является новым и ранее не было известно. Я в этом очень сомневаюсь, но поскольку анализа не знаю совершенно, аргументировать не могу. Не подскажет ли кто-нибудь учебник (желательно англоязычный, но подойдёт любой в котором это утверждение есть?

vovatroff

Если она аналитическая из R1в R1, то все ее нули изолированы => меры нуль.
Это тривиально?

flukkky

А если функция тождественно равна нулю на R^n?

vovatroff

Резонно...
Впрочем, этот случай действительно часто забывается при формулировках
теорем о нулях.
Думаю, автор имел в виду свое утверждение при условии
"...не являющаяся тождественным нулем..."
Иначе неверно, однозначно.

vovatroff

Финитные функции не аналитичны в R1.
По теореме единственности.

kravecnata

Да, надо было оговорить, что не тождественный нуль, конечно.
Для нескольких переменных (мне нужно именно R^n) так просто - нули изолированы - не получится (например, многочлен xy). И мне очень желательна ссылка, даже для тривиальных утверждений

vovatroff

Многомерный комплан - штука сложная.
Я даже не знаю, где про это толком почитать.
Может, еще кто знает.
А одномерный случай - да любой учебник
ТФКП, хоть Евграфов, хоть Привалов, хоть
Лаврентьев-Шабат, что под рукой есть.
Везде должно быть, по идее.

Lokomotiv59

Это пойдет?

flukkky

Ладно, я чушь сморозил с финитностью

kravecnata

Мне всё же случай нескольких переменных нужен.

vovatroff

Хоть и не мне, но глянул - полезная штучка, спасибо, не знал.

vovatroff

Да ладно, а я с нетождественностью
Ну с кем не бывает.
Зато пообщались.

vovatroff

Есть книжки по ТФмногихКП, но они убойно написаны для несугубых математиков.
Все на алгебраическом языке, через кольца и идеалы, а также гомологии.
Т.е. сначала надо будет перевести вопрос с человеческого языка на
убойный, потом найти на него ответ, и перевести обратно на человеческий
Если это, тем не менее, устроит, могу подсказать одну такую ссылку, но не сразу.
И без гарантий, что это там есть.

lena1978

давай ссылки

kravecnata

Я пока надеюсь, вдруг кто-нибудь прям точную ссылку даст

svetik5623190

А в Шабате во втором томе смотрел?

vovatroff

М.Б., завтра, если сложится.

vovatroff

Р.Ганнинг, Х.Росси.
Аналитические функции многих комплексных переменных.
- Пер. с англ. М: Мир, 1969.
Оригинальное издание (вроде как раз на английском и интересовало):
R.C.Gunning, H.Rossi
Analytic functions of several complex variables.
in: Prentice-Hall Series in Modern Analysis
R. Creighton Buck, editor
Prentice-Hall, Inc.
Englewood Cliffs, N.J.
1965

margo11

К сожалению, ссылку на факт не знаю. Но вроде несложно доказать. Например, для n=2.
Аналитическая в R^2 функция f(x,y) может быть представлена всюду сходящимся рядом от x,y, так ведь?
Рассмотрим произвольное число a \in R.
Пусть f(a,y) !== 0 (не тождественный ноль). Тогда это аналитическая функция от y, отличная от тождественного нуля. Значит, число точек y, для которых возможно равенство f(a,y) = 0 не более, чем счетно.
Пусть теперь f(a,y) === 0. Если разложение f(x,y) рассмотреть как ряд по степеням y с коэффициентами - рядами от x, то получим, что каждый ряд от x имеет точку a своим нулем. Поскольку существуют отличные от тождественного нуля ряды (т.е. f не есть ноль на R^2 то таких точек a не более чем счетное множество.
Множества пар (a,y) из первого случая и из второго - оба меры ноль.

Lokomotiv59

А зачет, тока в общем виде надо не про счетное множество нулей, а про множество нулей (n-1)-мерной меры 0.

margo11

Ну да. По индукции.
Правда, наверное, автору треда нужно было не столько доказательство, сколько найти этот факт уже доказанным.

kravecnata

"Элементарное" доказательство мне тоже пригодится - я теперь могу обоснованно говорить, что это нетрудное упражнение
Еще мне указали, что утверждение легко следует из Vorbereitungssatz Вейерштрасса - аналитическая функция (многих переменных) представима в виде произведения многочлена и функции, не обращающейся в нуль в окрестности (эта теорема есть в Шабате, о котором выше напомнили).
Так что вопрос можно считать закрытым, всем спасибо за помощь!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: