Пространства с более чем счетным базисом

natali22061979

Вот, такое вот у меня праздною любопытство.
Скажем, пространство функций непрерывных на отрезке бесконечномерно, но счетно. Можно в этом пространстве разложить любую функцию по какой-нибудь ортогональной системе функий. Натурального ряда для "координат" такого элемента хватает. А что если у нас будет "плохая" функция, какая-нибудь не обладающая свойством даже кусочной непрерывности? Не понадобиться ли для пространства таких "плохих" функций несчетный базис?
Короче, хотелось бы узнать, насколько ахинию я написал выше во-первых, можете ли вы привести пример таких пространств, если это все-таки не полная чушь во-вторых.

Xephon

Рассмотрим функции R -> R , которые равны 0 за исключением конечного числа точек.
Это будет линейное пространство, не обладающее базисом мощности меньше континуума.
Континуальный базис — это, например, функции, которые равны 1 в одной точке, а в остальных равны 0.

natali22061979

Континуальный базис — это, например, функции, которые равны 1 в одной точке, а в остальных равны 0.

О, похоже на правду :)
Действительно.

sfr28

Тебе какой базис нужен? Алгебраический? Тогда исчерпывающий ответ дал предыдущий оратор.

natali22061979

Дык, кто ж спорит? Я доволен и уже выразил предыдущему оратору свой респект. Всем спасибо :)

asora

пожалуйста!
спрпшивай ещё

goga7152

Сообщение удалил

svetik5623190

Тем самым над любым полем существует линейное пространство, линейная размерность которого равна любому наперед заданному кардиналу.
А причём здесь функторы? По-моему, тут всё ясно и без теории категорий: искомым пространством будет пространство семейств элементвов данного поля, индексированных элементами множества нужной мощности, операции - покомпонентные. В каждом семействе не равными нулю поля допускается быть лишь конечному числу элементов.
Т.е. элемент линейного пространства это семейство {a_\beta}, где а из поля, бета из множества нужной можности. Если в семействе {a_\beta} более конечного числа равных нулю элементов a_\beta_1, a_\beta_2, a_\beta_3, .... то для любого \beta имеет место a_\beta = 0.
Похоже на правду вроде

goga7152

Сообщение удалил

svetik5623190

Кроме того, он делает явной аналогию с другими подобными конструкциями (свободной группы, топологического пространства с дискретной топологией и т.д.).
Очень полезные конструкции, ничего не скажешь
Ну это я так, шучу. На самом деле ты конечно прав:
Кто как привык думать.

Я привёл для бурарума конкретный пример, потому что вряд ли его интересует категория линейных пространств сама по себе.

soldatiki

Использование языка категорий и функторов часто позволяет одним предложением выразить гораздо больше информации.
Но и перегибать тоже не надо. А то сия "паталогия" часто проявляется у программистов, кто только освоил объектно-ориентированную парадигму и теперь готов строить иерархии классов везде, где надо и не надо. Категория - это всего лишь структура графа, но не на множестве, а на классе. Свободное векторное пространство можно строить и безо всяких категорий как прямую сумму экземпляров поля, взятых в нужном количестве. Гонобобелю +1.

soldatiki

Топикстартеру: если в пространстве вводится топология, то обычно под базисом понимают базис Шаудера или Рисса (один из них условный, другой - безусловный): каждый элемент однозначно представим в виде суммы ряда (условно или безусловно сходящегося). Так вот бывают даже нормированные пространства вообще без такого базиса. Вопрос о их размерности оказывается лишенным смысла.

natunchik

А если эти функции не единице равны в некоей точке, а интегрируются в единицу (дельтафункции то есть то получается вполне используемая конструкция. В квантовой механике, например. Собственно, это базис пространства W[0, 1, 2], если мне не изменяет память.

natali22061979

Не совсем по теме, но может вы мне еще и расскажете, как ввести меру в пространстве хотя бы со счетным базисом? Гиперобъем, наверное, глупо считать?

stm7543347

как ввести меру в пространстве хотя бы со счетным базисом?
Гы-гы. Нормируй, и будет тебе мера.

natali22061979

Гы-гы. Нормируй, и будет тебе мера.

Подробнее, пожалуйста!

stm7543347

(a,b) := ||a - b||

natali22061979

Спасиба

vovatroff

Что-то мне подсказывает, что вы меру с метрикой путаете.
Вы объем или длину будете мерять?

natali22061979

Я хочу сопоставлять множествам числа и так, чтоб при этом выполнялась аксиома счетной аддитивности. Делать я это хочу, ну допустим, в пространстве функций непрерывных на отрезке. Что касается предложенния Диззи Дена, то я поначалу подумал, что в данном случае вместо меры можно взять метрику.
Низя?

vovatroff

А метрика разве сигма-аддитивна?
И разве она функция множества?

goga7152

Я хочу сопоставлять множествам числа и так, чтоб при этом выполнялась аксиома счетной аддитивности. Делать я это хочу, ну допустим, в пространстве функций непрерывных на отрезке.
Ну есть например мера Винера.

natali22061979

Ну есть например мера Винера.

А чиво это такое?

natali22061979

А метрика разве сигма-аддитивна?
И разве она функция множества?
Нет, признаю себя ослом, как говаривал мистер Трелони.
з.ы. Дык как с мерой-то быть?

goga7152

Сообщение удалил

svetik5623190

Ту Ноубоди - зачем стираешь посты. которые я цитирую? связность чтения понижается от таких вещей
Ту Бурарум: Ввести-то можно, не вопрос, вопрос в том, как сделать это разумно.
Глупые примеры:
1. в простаранстве любой размерности измеримыми объяви все множества, выбери конечно число точек наобум, их меру положи равной 1, меру остальных точек - нулю. Будет сигма-аддмитивная функция множества. Можно чуть расширить пример - взять не конечное число точек, а счётное, только надо чтобы ряд из модулей значений мер этих точек сходился.
2. Объяви измеримыми только пустое и всё пространство. Меру вснего пространства положи равной любому числу. Тоже всё формально выполнится.
Полезные примеры.
Мера Винера на С[0,1]. См. Смолянов, Шавгулидзе "Континуальные интегралы". Есть в сетке и в электронной библиотеке мехмата.
Гауссова мера. См. там же.
Меры на бесконечномерных пространствах активно используются в современной физике.

svetik5623190

А метрика разве сигма-аддитивна?
И разве она функция множества?
Метрика - функция двухточечного множества (точки могут совпадать мера - любого из разрешённого списка, который называется "измеримые множеста" и в математическом смысле может означать очень разное - от полукольца множеств до сигма-алгебры множеств.
Поэтому о сигма-аддитивности метрики говорить мягко говоря не приходится
Физический смысл метрики - расстояние между точками, а меры - масса или заряд или насыщенность каким-то веществом множества.

vovatroff

Я это понимаю, потому и задал эти риторические вопросы автору.
Понял ли он - пока судить трудно.

aldo63

а я как-то спрашивал, может ли пространство иметь дробную или иррациональную размерность, вроде никто не ответил.

stm7543347

Вы объем или длину будете мерять?
Нет, я (суть человек, использующий голову в качестве орудия труда, но не источника мыслей)

natali22061979

Гонобобелю как всегда респект :)

svetik5623190

а я как-то спрашивал, может ли пространство иметь дробную или иррациональную размерность, вроде никто не ответил.
В отрыве от контекста выражение лишено смысла. Всё зависит от отпределения размерности.
Обычно под размерность. понимается конечный или бесконечный кардинал (мощность в каком-то смысле минимального в каком-то смысле базиса который ясен пень не может быть дробным или иррациональным числом.
Бывают другие размерности, например хаусдорфова (фрактальная) размерность. Она может быть любым положительным числом. Хаусдорфова размерность широко используется в некоторых разделах математики, например характеризует вспособ вложения кривой в пространство. Известное классическое множество Кантора - фрактал, его хаусдорфова размерность равна log2 / log3.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: