Доказать неравенство

Komandor

Привет, ВСЕМ.
Имеется неравенство:
[math][res=150]    $  9.0000 < \int\limits_0^3 \sqrt[4]{x^4+1} d x + \int\limits_1^3 \sqrt[4]{x^4-1} d x < 9.0001  $    [/math]
Численно получается так: 5.14164684 + 3.85839603 = 9.00004287, т.е. все ОК.
Интересно было бы узнать, как доказать это неравенство без привлечения компа?

Vadim46

разложить подынтегральные функции в ряд Тейлора, написать оценки остаточных членов?

Komandor

неважно, что интегрирование идет до 3. Как-то далековато от нуля.

Vlad128

а там не просто локальная формула, там ряд же :)
А можно поинтересоваться, откуда задачка возникла?

Komandor

Я понимаю, что ряд, но насколько адекватоно (т.е. каким числом членов можно обойтись?) ряд опишет ф-цию на интервале интегрирования?

Vadim46

насколько адекватоно (т.е. каким числом членов можно обойтись?) ряд опишет ф-цию на интервале интегрирования?
ты можешь выяснить это, оценив остаточные члены.

Komandor

Понятно, спасибо большое ;)

afony

Это можно сделать так:
В интеграле [math]$\int_0^3\sqrt[4]{x^4+1}\,dx$[/math] делаем замену [math]$x=\sqrt{\sh t}$[/math], получаем [math]$$\int_0^{{\rm arcsh}\,9}\frac{\ch^{3/2}t\,dt}{2\sh^{1/2}t}$$[/math]. Аналогично в интеграле [math]$\int_1^3\sqrt[4]{x^4-1}\,dx$[/math] делаем замену [math]$x=\sqrt{\ch t}$[/math] и получаем [math]$$\int_0^{{\rm arcch}\,9}\frac{\sh^{3/2}t\,dt}{2\ch^{1/2}t}$$[/math]. Учитывая, что [math]${\rm arcsh}\,9=\ln(9+\sqrt{82})\approx \ln 18\approx \ln(9+\sqrt{80})={\rm arcch}\,9$[/math], получаем, что сумма наших интегралов приближенно равна [math]$$\int_0^{\ln18}\frac{\ch^{3/2}t}{2\sh^{1/2}t}+\frac{\sh^{3/2}t}{2\ch^{1/2}t}\,dt$$[/math]. А этот интеграл равен [math]$$\int_0^{\ln18}\frac{d\sh(2t)}{\sqrt{8\sh(2t)}}=\frac{\sqrt{\sh(2\ln18)}}{\sqrt{2}}\approx 9.$$[/math].

DarkDimazzz

Неаккуратно. 9.1 тоже приближенно равно 9.

toxin

А как насчет перехода к обратной функции:
[math]$$\int_0^3\sqrt[4]{x^4+1}dx+\int_1^{\sqrt[4]{3^4+1}}\sqrt[4]{x^4-1}dx=3\cdot \sqrt[4]{3^4+1}$$[/math].
Значит наше выражение равно [math]$$3\times 3+\int_3^{\sqrt[4]{3^4+1}}(3-\sqrt[4]{x^4-1})dx$$[/math].
Интеграл можно оценить величиной [math]$$(\sqrt[4]{3^4+1}-3)\times(3-\sqrt[4]{3^4-1})$$[/math]. Легко показать, что первый множитель не превосходит [math]$$\frac{1}{108}$$[/math], а второй - [math]$$\frac{1}{107}$$[/math], откуда и следует требуемое.

afony

"ты можешь выяснить это, оценив остаточные члены." (C) ;)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: