Предел последовательности

bvlady552

Почему последовательность при не имеет предела?
Покажите пожалуйста почему это так.

sweettydo

критерий Коши тебе в помощь

dunkel68

докажи, что множество { sin(n^2) } всюду плотно на [-1, 1]

tester1

последовательность не имеет предела, потому что имеет две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам: к 0 и к 1
эти подпоследовательности можно получить, воспользовавшись так называемыми "подходящими дробями", дающими "наилучшие приближения" для чисел Пи и Пи/2.
см. Вики http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%85%D0%BE%...

tester1

докажи, что множество { sin(n^2) } всюду плотно на [-1, 1]
это несколько сложнее, чем то, что просит топикстартер. или ты знаешь простое решение?

Mausoleum

эти подпоследовательности можно получить, воспользовавшись так называемыми "подходящими дробями", дающими "наилучшие приближения" для чисел Пи и Пи/2.
Для этого тебе надо доказать, что среди подходящих дробей найдется бесконечное множество чисел вида n^2/m и вида (2n+1)^2/2(2m+1).
Как?

tester1

хороший вопрос!
а что если искать подходящие дроби для корня из Пи? ;)

iri3955

Допустим, есть предел, тогда начиная с некоторого момента все числа [math]$n^2$[/math] на круге [math]$(n^2 \% 2\pi)$[/math] лежат в [math]$\varepsilon$[/math]-окрестности 2х точек (a и b). Рассмотрим такое n, что [math]$2n + 1\notin[a - b - 2\varepsilon, a - b + 2\varepsilon]$[/math], [math]$2n + 1\notin[b - a - 2\varepsilon, b - a + 2\varepsilon]$[/math] и [math]$2n + 1\notin[- 2\varepsilon,  2\varepsilon]$[/math] на круге (в силу равномерного распределения 2n + 1 на круге таких n бесконечно много). Тогда если [math]$\sin(n^2)$[/math] принадлежало [math]$\varepsilon$[/math]-окрестности a или b, то [math]$\sinn+1)^2)$[/math] уже не будет.

Mausoleum

хороший вопрос!
а что если искать подходящие дроби для корня из Пи?
Ничего не изменится, только квадрат переместится из числителя в знаменатель (типа n/m^2 вместо n^2/m).
Повторю вопрос - как?

griz_a

[math]$cos(9n^2)-cos n^2 = - 2 sin (4 n^2) sin (5n^2) = -2 sin 4n^2 (sin 4n^2 cos n^2 + cos 4n^2 sin n^2)$[/math]
cos n^2 сходится к a. Тогда
[math]$cos 9n^2 - cos n^2 \rightarrow -4 \sqrt{1-a^2}\sqrt{1-a^2} a=-4a(1-a^2)=a$[/math]
Отсюда a=0 или 1.
Если a=0, то дробная часть [math]$n^2/\pi$[/math] сходится к 1/2. Но тогда дробная часть [math]$4n^2/\pi$[/math] имеет предельные точки 0 и 1, что противоречит предыдущему.
Отсюда для какого-то [math]$N_0$[/math] при всех [math]$n>N_0$[/math] [math]$n^2/\pi$[/math] отличается от ближайшего целого числа не больше чем на [math]$1/8$[/math]
Берем [math]$N_0^2/\pi$[/math] и умножаем на 4 до тех пор, пока полученное число не станет отличаться от целого более чем на [math]$1/8$[/math].
Противоречие.

lenmas

А че ты у cos, sin не ставишь бэкслеша? Да и задача про sin n^2, а не про cos n^2 :grin:
А так решение классное! :)

griz_a

[math]$\sqrt{1-x^2}$[/math] - непрерывная функция :)

lenmas

Ну, там формально плюс-минус может быть :grin:
Я вот тоже пытался брать разности типа sin(n+1)^2-sin(n-1)^2, но догадаться до кратных от n че-то не смог :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: