Алгебра с единицей - это кольцо, содержащее подполе

tester1

Более подробно: алгебра с единицей - это кольцо, содержащее подмножество, которое относительно операций кольца будет полем.
Как вам такая формулировка?

BoBochka

Думаю, плохая формулировка. Если у поля есть подполе (напр., у R подполе Q то могут иметься в виду различные алгебры.

Thanhsoa

В алгебре может не быть единицы.

tester1

Думаю, плохая формулировка. Если у поля есть подполе (напр., у R подполе Q то могут иметься в виду различные алгебры.
Ну, можно ЕЩЁ подробнее: А - алгебра с единицей над полем Б, если А - кольцо, содержащее подполе, изоморфное Б как поле.
Главное - идея.

tester1

В алгебре может не быть единицы.
Хм, и правда. Тогда исправляю везде выше "алгебра" на "алгебра с единицей". Так правильно будет?

BoBochka

Ну, можно ЕЩЁ подробнее: А - алгебра с единицей над полем Б, если А - кольцо, содержащее подполе, изоморфное Б как поле.
Да, так можно. Но алгебра обычно рассматривается не одна, сама по себе, а вместе с другими алгебрами над тем же полем (категория поэтому, мне кажется, поле удобнее представлять себе как внешнюю сущность по отношению к каждой алгебре над этим полем.

Thanhsoa

Ну, технически, да. Только такое определение неинтересное, не отражает сути и не является продуктивным.
Изначально алгебра - это результат совмещения понятия кольца и векторного пространства. Из этой идеи логично вытекают такие объекты, как алгебры без единицы и даже алгебры над кольцами, а не над полями (результат совмещения модуля и кольца).

elenchik

Новая методичка?

tester1

Да не, просто всё пытаюсь осмыслить для себя как-то понятие алгебры. Аксиомы что-то не понимаю. Как-то они и не запоминаются, и по смыслу не организуются у меня в голове в какую-то систему законченную.

tester1

Из этой идеи логично вытекают такие объекты, как алгебры без единицы и даже алгебры над кольцами, а не над полями (результат совмещения модуля и кольца).
Предлагаемый в первом посте подход позволяет рассмотреть, например, кольцо над кольцом.
А - кольцо над кольцом Б, если в А есть подкольцо, изоморфное Б.

tester1

Ну, технически, да.
Спасибо!

Thanhsoa

В том-то и дело, что А может не вкладываться в Б.
Например, многочлены без свободного члена над кольцом целых чисел (включая нулевой многочлен).

tester1

В том-то и дело, что А может не вкладываться в Б.
В предлагаемом определении Б должно вкладываться в А, а не наоборот.

vsjshnikova

Ничего не обязано никуда вкладываться. Например, любое фактор-кольцо R/I является алгеброй над R.

tester1

Ничего не обязано никуда вкладываться.
В первом посте определение содержит требование вложенности:
А - алгебра с единицей над полем Б, если А - кольцо, содержащее подполе, изоморфное Б как поле.

vsjshnikova

А - алгебра с единицей над полем Б, если А - кольцо, содержащее подполе, изоморфное Б как поле.
Для полей это правда, а для колец уже нет.

tester1

Не понял. Ты имеешь в виду, что вот это верно:
А - алгебра с единицей над полем Б, если А - кольцо, содержащее подполе, изоморфное Б как поле.

а вот это не верно:
А - кольцо над кольцом Б, если А - кольцо, содержащее подкольцо, изоморфное Б.

я правильно тебя понял?

vsjshnikova

Да, если во второй цитате заменить "кольцо над кольцом" на "алгебра над кольцом"

tester1

Понятно.
А утверждение "А - кольцо над кольцом Б, если А - кольцо, содержащее подкольцо, изоморфное Б. " вот именно в такой формулировке верно?

vsjshnikova

А утверждение "А - кольцо над кольцом Б, если А - кольцо, содержащее подкольцо, изоморфное Б. " вот именно в такой формулировке верно?
В такой именно формулировке можешь писать что угодно, общепринятого термина "кольцо над кольцом" нет.

tester1

Большое спасибо. Теперь всё ясно.

seregaohota

Аксиомы что-то не понимаю. Как-то они и не запоминаются, и по смыслу не организуются у меня в голове в какую-то систему законченную.
линейное векторное пространство + умножение элементов не только на "числа" из основного поля, но и между собой, с естественными добавочными аксиомами чтобы умножение было хорошее и согласовывалось со всеми прежними конструкциями
Прикольный пример алгебра множеств например - алгебра над Z_2, сложение множеств - симметрическая разность, умножение - пересечение (фактически складываются и умножаются по модулю 2 характеристические функции множеств id(A) = 1 x \in A, 0 x \notin A)

tester1

Прикольный пример алгебра множеств например - алгебра над Z_2, сложение множеств - симметрическая разность, умножение - пересечение (фактически складываются и умножаются по модулю 2 характеристические функции множеств id(A) = 1 x \in A, 0 x \notin A)
да, это знаю. про это написано, например, в книге http://lib.mexmat.ru/books/119074

tester1

линейное векторное пространство + умножение элементов не только на "числа" из основного поля, но и между собой, с естественными добавочными аксиомами чтобы умножение было хорошее и согласовывалось со всеми прежними конструкциями
на таком уровне я вроде понимаю... хотелось бы ещё связей с остальными известными мне конструкциями

Sergey79

ты же вроде увлекаешься топологией - тогда лучше обрати внимание на пост Маруфы и иди от теории категорий.

tester1

поясни плиз, при чём тут топология? и как помогают категории?

Sergey79

я не математик, но по-моему это выглядит круто - ограничивать общую конструкцию, а не обобщать ограниченную конструкцию

tester1

я не математик, но по-моему это выглядит круто - ограничивать общую конструкцию, а не обобщать ограниченную конструкцию
и так, и так бывает круто и полезно
так всё же:
поясни плиз, при чём тут топология? и как помогают категории?

Sergey79

просто ты правил исходный пост треда, так что я уже не понимаю, какова твоя цель? Что ты хочешь от определения алгебры, и какое определение тебе нужно?

tester1

просто хочу с разных сторон на понятие взглянуть
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: