Вполне монотонные функции

lana

собственно сабж

lenmas

А чего нужно? Сталкивался мимоходом.

lana

Не пойму, как показать, что для любой положительной функции существует вполне монотонная такая, что их произведение тоже вполне монотонная функция.

lenmas

для любой положительной функции
Положительная функция не обязательно дифференцируема, поэтому как ты можешь утверждать, что произведение на вполне монотонную тоже вполне монотонная?
И вообще, что ты понимаешь под вполне монотонной функцией?

lena1978

- это вполне монотонная функция или нет?

lana

положительная функция предполагается бесконечно дифференцируемой, а под вполне монотонной предполагаю вот это http://mathworld.wolfram.com/CompletelyMonotonicFunction.htm...
и хочется найти ненулевую вполне монотонную функцию все таки

lenmas

Да, я тоже под вполне монотонной это самое и понял. Тогда надо думать очень сильно.

lenmas

положительная функция предполагается бесконечно дифференцируемой
Этого тоже мало. Представь себе, что эта функция не аналитическая в некоторой точке (то-есть имеет в какой-то точке бесконечно горизонтальный график тогда ты умножением на вполне монотонную (а значит аналитическую во всех точках) функцию не сможешь добиться, чтобы результат тоже был аналитический в этой точке.
Нужны какие-то условия на исходную функцию.

BSCurt

Представь себе, что эта функция не аналитическая в некоторой точке (то-есть имеет в какой-то точке бесконечно горизонтальный график)
Ты тут заблуждаешься про: не аналитическая в некоторой точке => имеет бесконечно горизонтальный график в точке.
И да, почему вполне монотонная всюду аналитическая?

lena1978

мне кажется надо как-то играться с представлением через преобразование Лапласа.

lenmas

И да, почему вполне монотонная всюду аналитическая?
Бернштейн доказал.

lenmas

не аналитическая в некоторой точке => имеет бесконечно горизонтальный график в точке
Ну это я пример бесконечно дифференцируемой не аналитической функции привел. Конечно, не аналитические функции бывают и не такими.

lenmas

мне кажется надо как-то играться с представлением через преобразование Лапласа.
+1. Тоже так подумал.
Можно еще как-то попробовать прологарифмировать требуемое равенство, и тогда будет достаточно представить бесконечно дифференцируемую функцию (логарифм исходной) в виде разности вполне монотонных. А это вроде равносильно представлению в виде преобразования Лапласа от меры на полупрямой (не обязательно положительной).

BSCurt

Ага, но если вполне монотонная аналитическая во всех точках, то вообще не понятно почему требуемое утверждение должно быть верно верно, в смысле казалось бы оно неверно почти всегда, если речь идет про бесконечно дифференцируемые.

lenmas

Ну вот там надо условия какие-то на функцию писать. Какие, непонятно. Обычно это из исследования должно вытекать.

BSCurt

Ну как бы как минимум аналитичность должна быть, ведь хочется [math]$g f_1 = f_2$[/math], где [math]$ f_1,f_2$[/math] вполне монотонные(а следовательно аналитические следовательно [math]$g= \frac{f_2}{f_1}$[/math] тоже аналитическая (ну разве что за исключением множества нулей [math]$f_1$[/math], но про это случай надо какие-нибудь магические слова сказать короче говоря если ответ и существует то он должен быть только для аналитических функций.

lenmas

ну разве что за исключением множества нулей [math]$f_1$[/math], но про это случай надо какие-нибудь магические слова сказать
Да, правильно, у нее не может быть нулей на полупрямой.

lana

вопрос вообще вот откуда появился: изначально надо показать, что для функции [math]g(x[/math] преобразование Лапласа которой
[math]G(p)>0[/math] для любого [math]p>0,[/math]
существует неотрицательная функция [math]f(x)[/math] такая, что свертка функций [math]f[/math] и [math]g[/math]
[math]f*g(t)>0[/math] для любого [math]t[/math] из отрезка [math][0,T].[/math]
Преобразование Лапласа от свертки функций есть произведение образов, а по теореме Бернштейна преобразование Лапласа от положительной функции является вполне монотонной функцией, то есть получаем вопрос, который я задал в начале.
Зы извиняюсь, что нескольколько коряво все написано, тут почему-то ТеХ не все обычные выражения переваривает

griz_a

Что-то вообще ни разу не похоже на исходный вопрос :confused:
Причем тут вообще "преобразование Лапласа от свертки". Вам надо доказать, что свертка положительна, как вы это через ее преобразование Лапласа хотите сделать, не пойму?

lenmas

тут почему-то ТеХ не все обычные выражения переваривает
Надо еще в доллары формулы заключать.

lenmas

Что-то вообще ни разу не похоже на исходный вопрос :confused:
Да не, похоже. Кроме того, что та положительная функция, про которую не хватало условий, является преобразованием Лапласа со всеми вытекающими отсюда последствиями :)
P.S. Нет, ты прав, там свертка не для всех t положительная, а только из некоторого конечного отрезка. :crazy:

griz_a

Эм, какая связь того, что функция положительна на отрезке [0,T] и того, что ее преобразование Лапласа по прямой положительно при всех положительных аргументах?

lenmas

Эм, какая связь того, что функция положительна на отрезке [0,T] и того, что ее преобразование Лапласа по прямой положительно при всех положительных аргументах?
Я выше уже написал, что был не прав :)

griz_a

Э, там все наоборот же :) Он пытается через положительность преобразования Лапласа на полупрямой вывести положительность свертки. Я не понимаю, как это делать, пускай даже и не было бы там отрезка никакого.

lenmas

Ну, я так понял, преобразование Лапласа --- это практически вычисление спектра функции. То-есть получается спектр у исходной функции положительный, без фазы. Соответственно, обратное преобразование Фурье должно иметь какие-то хорошие свойства. Ну, это пока так, поток сознания. :) Надо думать.

griz_a

Тогда можно было не мутить ничего, из положительности преобразования Лапласа исходной функции выводы делать :)
По-моему, положительность функции вывести из свойств ее оператора Лапласа на полупрямой довольно проблематично.

lenmas

По-моему, положительность функции вывести из свойств ее оператора Лапласа на полупрямой довольно проблематично.
Но ничего противоречивого в том, чего хочется, я тоже не вижу.
По крайней мере, для p=0 получается интеграл от f(t) получается больше нуля. При других значениях p может еще чего получится. При p=1/T получается
[math]  $$  T\int\limits_0^\infty e^{-t/T}f(t)\,dt\approx\int\limits_0^T(T-t)f(t)\,dt>0  $$  [/math]
при больших T, что тоже похоже на свертку с чем-то. Ну и так далее.
Наверное, как-то аккуратней тоже можно что-то получить.

griz_a

Что-то я не пойму что ты хочешь сказать. У косинуса, умноженного на функцию Хевисайда, например, преобразование лапласа - 1/(1+x^2). И чего?

lenmas

А для косинуса утверждение верно или нет?
Хотя то, что я понаписал, действительно, к этому примеру никак не клеится. Поэтому я и понаписал, что это примерные, наводящие соображения, что в принципе требуют не сильно бессмысленного.

griz_a

Верно, его можно свернуть с функцией, которая на маааленьком отрезочке около 0 положительна, а на остальной прямой 0.

lenmas

Верно, его можно свернуть с функцией, которая на маааленьком отрезочке около 0 положительна, а на остальной прямой 0.
Кстати, если его свернуть с f(t)=t (то-есть два раза проинтегрировать от нуля то получишь положительную и на всей прямой функцию :)
Так что может быть утверждение верно и глобальное, то-есть свертка положительна на всей полупрямой, а не только на конечном отрезке.

lana

подправлю немного свое сообщение:
изначально надо показать, что для функции [math]g(x[/math] преобразование Лапласа которой
[math]$G(p)>0,\,\forall  p>0,$[/math]
существует неотрицательная функция [math]f(x)[/math] такая, что свертка функций [math]f[/math] и [math]g[/math]
[math]$f*g(t)>0,\,\forall t\in[0,T],$[/math]
а вне отрезка [math][0,T][/math] [math]$f*g(t)\geqslant0.$[/math]
Преобразование Лапласа от свертки функций есть произведение образов, а по теореме Бернштейна преобразование Лапласа от положительной функции является вполне монотонной функцией, то есть получаем вопрос, который я задал в начале:
для положительной функции [math]G(p)[/math] нужно найти вполне монотонную функцию [math]F(p)[/math] такую, что их произведение было вполне монотонной функцией. А затем применяем теорему Бернштейна в обратную сторону.
Кстати, как я понимаю преобразование Лапласа от неотрицательной функции аналитично, а от произвольной — не факт?
При каких условиях преобразование Лапласа имеет конечное число корней?

lenmas

Кстати, как я понимаю преобразование Лапласа от неотрицательной функции аналитично, а от произвольной — не факт?
От произвольной функции аналитично. На положительной полупрямой не может иметь много нулей (а именно, нули не могут накапливаться во внутренней точке, то-есть все изолированны).
Еще есть теорема Пэли-Винера, что преобразование Лапласа от функции из L^2 на положительной полупрямой --- аналитическая функция в правой полуплоскости из класса Харди H^2 (то-есть L^2-нормы на вертикальных прямых ограничены) и обратно.

lana

От произвольной функции аналитично. На положительной полупрямой не может иметь много нулей (а именно, нули не могут накапливаться во внутренней точке, то-есть все изолированны).

Откуда этот факт? Есть ли вообще хорошие книжки по этому добру?

lenmas

Откуда этот факт? Есть ли вообще хорошие книжки по этому добру?
Книжка Widder'а, называется The Laplace Transform.
Потом книжка Пэли-Винера очень содержательная, называется "Преобразование Фурье в комплексной области".
Про связь L^2 и H^2 в правой полуплоскости я вычитал в книжке Кеннета Гофмана "Банаховы пространства аналитических функций", там есть целая глава, посвященная аналитическим функциям в правой полуплоскости. Там можно про распределение нулей функций этих классов почитать.

lana

 
подправлю немного свое сообщение:
изначально надо показать, что для функции [math]g(t[/math] преобразование Лапласа которой
[math]$G(p)>0,\,\forall p>0,$[/math]
существует неотрицательная функция [math]f(t)[/math] такая, что свертка функций [math]f[/math] и [math]g[/math]
[math]$f*g(t)>0,\,\forall t\in[0,T],$[/math]
а вне отрезка [math][0,T][/math] [math]$f*g(t)\geqslant0.$[/math]
Преобразование Лапласа от свертки функций есть произведение образов, а по теореме Бернштейна преобразование Лапласа от положительной функции является вполне монотонной функцией, то есть получаем вопрос, который я задал в начале:
для положительной функции [math]G(p)[/math] нужно найти вполне монотонную функцию [math]F(p)[/math] такую, что их произведение было вполне монотонной функцией. А затем применяем теорему Бернштейна в обратную сторону.
Кстати, как я понимаю преобразование Лапласа от неотрицательной функции аналитично, а от произвольной — не факт?
При каких условиях преобразование Лапласа имеет конечное число корней?
после обсуждений исходная задача имеет несколько другой вид, а именно:
надо показать, что для функции [math]g(t[/math] преобразование Лапласа которой
[math]$G(p)>0,\,\forall p\geqslant0,$[/math]
существует функция [math]f(t)[/math] такая, что
1) [math]$f(t)\geqslant0,\,t\in[0,T-\hat T],\:\:f(t)=0,\,t\in[T-\hat T,T]$[/math]
2)свертка функций [math]f[/math] и [math]g[/math]
[math]$f*g(t)\geqslant0,\,\forall t\in[0,T$[/math]
3) [math]$f*g(T)>0.$[/math]

lana

а какие вообще свойства у вполне монотонных функций?
ну там про сумму, произведение и всякие хитрые суперпозиции понятно+теорема Бернштейна+нашел про то, что вполне монотонные функции образуют конус, крайними точками которого являются экспоненты
[math]$e^{-px},\,p\in[0,+\infty]$[/math]

lenmas

Ну, есть еще логарифмически вполне монотонные функции --- это если их логарифм тоже удовлетворяет условию полной монотонности (кроме, быть может, положительности самой функции). Так вот если функция является повторным преобразованием Лапласа от положительной функции (то-есть преобразованием Стилтьеса положительной функции то она логарифмически вполне монотонная. Если в твоей задаче твоя положительная функция является экспонентой от преобразования Лапласа, то она представляется в виде отношения логарифмически вполне монотонных функций (ну, как любая мера раскладывается в разность двух положительных мер). Хотя в твоей задаче это мало помогает. Еще в какой-то книжке, которую цитировал выше (Олвера что ли видел такую задачку, что если q(t)>0 и q'(t) --- вполне монотонная, то 1/q(t) --- тоже вполне монотонная.
Из общих свойств ты пожалуй перечислил все.
А задачка действительно интересная, только, кажется, нетривиальная. Я даже не знаю, кто на мех-мате может быть знаком с темой. Надо спрашивать у начальства, например, у Чубарикова можно спросить.

lana

Спасибо за твои ответы
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: