Вполне монотонные функции
А чего нужно? Сталкивался мимоходом.
Не пойму, как показать, что для любой положительной функции существует вполне монотонная такая, что их произведение тоже вполне монотонная функция.
для любой положительной функцииПоложительная функция не обязательно дифференцируема, поэтому как ты можешь утверждать, что произведение на вполне монотонную тоже вполне монотонная?
И вообще, что ты понимаешь под вполне монотонной функцией?
- это вполне монотонная функция или нет?
http://mathworld.wolfram.com/CompletelyMonotonicFunction.htm...
и хочется найти ненулевую вполне монотонную функцию все таки
положительная функция предполагается бесконечно дифференцируемой, а под вполне монотонной предполагаю вот это и хочется найти ненулевую вполне монотонную функцию все таки
Да, я тоже под вполне монотонной это самое и понял. Тогда надо думать очень сильно.
положительная функция предполагается бесконечно дифференцируемойЭтого тоже мало. Представь себе, что эта функция не аналитическая в некоторой точке (то-есть имеет в какой-то точке бесконечно горизонтальный график тогда ты умножением на вполне монотонную (а значит аналитическую во всех точках) функцию не сможешь добиться, чтобы результат тоже был аналитический в этой точке.
Нужны какие-то условия на исходную функцию.
Представь себе, что эта функция не аналитическая в некоторой точке (то-есть имеет в какой-то точке бесконечно горизонтальный график)Ты тут заблуждаешься про: не аналитическая в некоторой точке => имеет бесконечно горизонтальный график в точке.
И да, почему вполне монотонная всюду аналитическая?
мне кажется надо как-то играться с представлением через преобразование Лапласа.
И да, почему вполне монотонная всюду аналитическая?Бернштейн доказал.
не аналитическая в некоторой точке => имеет бесконечно горизонтальный график в точкеНу это я пример бесконечно дифференцируемой не аналитической функции привел. Конечно, не аналитические функции бывают и не такими.
мне кажется надо как-то играться с представлением через преобразование Лапласа.+1. Тоже так подумал.
Можно еще как-то попробовать прологарифмировать требуемое равенство, и тогда будет достаточно представить бесконечно дифференцируемую функцию (логарифм исходной) в виде разности вполне монотонных. А это вроде равносильно представлению в виде преобразования Лапласа от меры на полупрямой (не обязательно положительной).
Ага, но если вполне монотонная аналитическая во всех точках, то вообще не понятно почему требуемое утверждение должно быть верно верно, в смысле казалось бы оно неверно почти всегда, если речь идет про бесконечно дифференцируемые.
Ну вот там надо условия какие-то на функцию писать. Какие, непонятно. Обычно это из исследования должно вытекать.
ну разве что за исключением множества нулейДа, правильно, у нее не может быть нулей на полупрямой., но про это случай надо какие-нибудь магические слова сказать
существует неотрицательная функция
Преобразование Лапласа от свертки функций есть произведение образов, а по теореме Бернштейна преобразование Лапласа от положительной функции является вполне монотонной функцией, то есть получаем вопрос, который я задал в начале.
Зы извиняюсь, что нескольколько коряво все написано, тут почему-то ТеХ не все обычные выражения переваривает

Причем тут вообще "преобразование Лапласа от свертки". Вам надо доказать, что свертка положительна, как вы это через ее преобразование Лапласа хотите сделать, не пойму?
тут почему-то ТеХ не все обычные выражения перевариваетНадо еще в доллары формулы заключать.
Что-то вообще ни разу не похоже на исходный вопросДа не, похоже. Кроме того, что та положительная функция, про которую не хватало условий, является преобразованием Лапласа со всеми вытекающими отсюда последствиями

P.S. Нет, ты прав, там свертка не для всех t положительная, а только из некоторого конечного отрезка.

Эм, какая связь того, что функция положительна на отрезке [0,T] и того, что ее преобразование Лапласа по прямой положительно при всех положительных аргументах?
Эм, какая связь того, что функция положительна на отрезке [0,T] и того, что ее преобразование Лапласа по прямой положительно при всех положительных аргументах?Я выше уже написал, что был не прав




По-моему, положительность функции вывести из свойств ее оператора Лапласа на полупрямой довольно проблематично.
По-моему, положительность функции вывести из свойств ее оператора Лапласа на полупрямой довольно проблематично.Но ничего противоречивого в том, чего хочется, я тоже не вижу.
По крайней мере, для p=0 получается интеграл от f(t) получается больше нуля. При других значениях p может еще чего получится. При p=1/T получается
при больших T, что тоже похоже на свертку с чем-то. Ну и так далее.
Наверное, как-то аккуратней тоже можно что-то получить.
Что-то я не пойму что ты хочешь сказать. У косинуса, умноженного на функцию Хевисайда, например, преобразование лапласа - 1/(1+x^2). И чего?
Хотя то, что я понаписал, действительно, к этому примеру никак не клеится. Поэтому я и понаписал, что это примерные, наводящие соображения, что в принципе требуют не сильно бессмысленного.
Верно, его можно свернуть с функцией, которая на маааленьком отрезочке около 0 положительна, а на остальной прямой 0.
Верно, его можно свернуть с функцией, которая на маааленьком отрезочке около 0 положительна, а на остальной прямой 0.Кстати, если его свернуть с f(t)=t (то-есть два раза проинтегрировать от нуля то получишь положительную и на всей прямой функцию

Так что может быть утверждение верно и глобальное, то-есть свертка положительна на всей полупрямой, а не только на конечном отрезке.
изначально надо показать, что для функции
существует неотрицательная функция
а вне отрезка
Преобразование Лапласа от свертки функций есть произведение образов, а по теореме Бернштейна преобразование Лапласа от положительной функции является вполне монотонной функцией, то есть получаем вопрос, который я задал в начале:
для положительной функции
Кстати, как я понимаю преобразование Лапласа от неотрицательной функции аналитично, а от произвольной — не факт?
При каких условиях преобразование Лапласа имеет конечное число корней?
Кстати, как я понимаю преобразование Лапласа от неотрицательной функции аналитично, а от произвольной — не факт?От произвольной функции аналитично. На положительной полупрямой не может иметь много нулей (а именно, нули не могут накапливаться во внутренней точке, то-есть все изолированны).
Еще есть теорема Пэли-Винера, что преобразование Лапласа от функции из L^2 на положительной полупрямой --- аналитическая функция в правой полуплоскости из класса Харди H^2 (то-есть L^2-нормы на вертикальных прямых ограничены) и обратно.
От произвольной функции аналитично. На положительной полупрямой не может иметь много нулей (а именно, нули не могут накапливаться во внутренней точке, то-есть все изолированны).
Откуда этот факт? Есть ли вообще хорошие книжки по этому добру?
Откуда этот факт? Есть ли вообще хорошие книжки по этому добру?Книжка Widder'а, называется The Laplace Transform.
Потом книжка Пэли-Винера очень содержательная, называется "Преобразование Фурье в комплексной области".
Про связь L^2 и H^2 в правой полуплоскости я вычитал в книжке Кеннета Гофмана "Банаховы пространства аналитических функций", там есть целая глава, посвященная аналитическим функциям в правой полуплоскости. Там можно про распределение нулей функций этих классов почитать.
подправлю немного свое сообщение:после обсуждений исходная задача имеет несколько другой вид, а именно:
изначально надо показать, что для функциипреобразование Лапласа которой
существует неотрицательная функциятакая, что свертка функций
и
а вне отрезка![]()
Преобразование Лапласа от свертки функций есть произведение образов, а по теореме Бернштейна преобразование Лапласа от положительной функции является вполне монотонной функцией, то есть получаем вопрос, который я задал в начале:
для положительной функциинужно найти вполне монотонную функцию
такую, что их произведение было вполне монотонной функцией. А затем применяем теорему Бернштейна в обратную сторону.
Кстати, как я понимаю преобразование Лапласа от неотрицательной функции аналитично, а от произвольной — не факт?
При каких условиях преобразование Лапласа имеет конечное число корней?
надо показать, что для функции
существует функция
1)
2)свертка функций
3)
ну там про сумму, произведение и всякие хитрые суперпозиции понятно+теорема Бернштейна+нашел про то, что вполне монотонные функции образуют конус, крайними точками которого являются экспоненты
Из общих свойств ты пожалуй перечислил все.
А задачка действительно интересная, только, кажется, нетривиальная. Я даже не знаю, кто на мех-мате может быть знаком с темой. Надо спрашивать у начальства, например, у Чубарикова можно спросить.
Спасибо за твои ответы
Похожие темы:
Оставить комментарий
lana
собственно сабж