Распределение точек внутри окружности

WarWarRus

Задача: дано N точек и окружность радиуса R. Заданы силы притяжения Fij, действующие между парами точек и силы притяжения Fir точек к окружности. Точка притягивается к одной точке на окружности, причем эта точка — есть ближайшая к ней точка окружности. То есть проводим радиус через узел внутри до пересечения с окружностью и получаем искомую точку. Нужно расчитать распределение точек внутри окружности, чтобы система находилась в равновесии.
Мне кажется, задачка простая очень, я даже уравнения написала:

Но как их решить, не знаю. Вчера целый день мучилась. Подскажите методы.
Upd.: Интересует не только аналитическое решение, но и как можно это все численно посчитать, в Matlabe, например, или где-нибудь еще.

kachokslava

попробуй в полярных координатах переписать, или вообще на вектора

WarWarRus

В полярных еще сложнее получается. Там все основные взаимодействия между точками, а эти направления выражаются трехэтажными выражениями.
Вектора — это хорошо, конечно, только вот что с ними дальше делать?

griz_a

Ты уверена, что эти координаты хорошо выражаются при произвольных притяжениях?

MaMMolog

Одно решение очевидно (в случае, если, помимо притяжения, есть и отталкивание, мое решение не работает. Однако в таком случае система вообще не имеет положения устойчивого равновесия решения в объеме).
Кстати, это наводит на мысль, что если, окромя притяжения, есть и отталкивание, то численное решение (точнее, численное моделирование) не сойдется.

WarWarRus

Ты уверена, что эти координаты хорошо выражаются при произвольных притяжениях?

Не уверена, что правильно поняла вопрос. Что значит хорошо выражаются? Там силы заданы и постоянны (ни от чего не зависят — ни от времени, ни от расстояния) Что может помешать такой системе уравновеситься?
Одно решение очевидно (в случае, если, помимо притяжения, есть и отталкивание, мое решение не работает. Однако в таком случае система вообще не имеет положения
устойчивого равновесия решения в объеме).
Можно поподробнее, что за решение? Отталкивания нет, только притяжение.
Кстати, это наводит на мысль, что если, окромя притяжения, есть и отталкивание, то численное решение (точнее, численное моделирование) не сойдется.

Уже написала. Не вижу ни одной причины по которой может что-то не сойтись. Или я не права?

incwizitor

без конкретных цифр ответ на задачу будет плохо выписываться и будет слишком сложным (если его вообще можно получить)

WarWarRus

не очень понимаю, чем помогут конкретные цифры вместо коэффициентов. Но они есть, заданы заранее, так что ими можно пользоваться при решении. Только мне все равно не понятно, как решить задачу, пусть даже и с конкретными цифрами.

MaMMolog

Очевидное решение - когда все частицы собираются в одну точку на ободе или, если забыть про неустойчивость, две диаметрально противоположные.

incwizitor

а нам тем более ничего не понятно, потому что решать в общем случае - гнилая затея.

MaMMolog

> Уже написала. Не вижу ни одной причины по которой может что-то не сойтись. Или я не права?
Если все частицы друг к другу и к обручу лишь притягиваются, то устойчивое решение только одно: все частицы находятся в любой (одной) точке на ободе. Этот ответ не зависит от конкретных значений сил.
Может существовать также несколько неустойчивых решений. Как минимум - когда все точки находятся в центре окружности либо когда они находятся в двух противоположных точках окружности. Все прочие решения, если они есть, зависят от конкретных значений Fij.
Отмечу, что эти решения неустойчивы лишь в том случае, если окружность притягивает каждой своей точкой, причем сила притяжения к точке окружности убывает с расстоянием. Между прочим, это вполне физичная картина.
Если это не так (как ты писала, силы не зависят от расстояния то сформулируй, что значит "частица притягивается к окружности с силой F". Куда именно притягивается?
А, ну вот. Вне зависимости от всего вышесказанного. Состояния неустойчивого равновесия просто так численным моделированием не отлавливаются.

WarWarRus

Если это не так (как ты писала, силы не зависят от расстояния то сформулируй, что значит "частица притягивается к окружности с силой F". Куда именно притягивается?

А, ну да. Забыла написать... Точка притягивается к одной точке на окружности, причем эта точка — есть ближайшая к ней точка окружности. То есть проводим радиус через узел внутри до пересечения с окружностью и получаем искомую точку. Ее координаты явно выражаются через координаты самой точки.

MaMMolog

Ага, я придумал, как, возможно, удастся численно разобраться с нестабильностью.
Надо на очередном шаге двигать точки не в сторону действия сил, а в противоположную.
По-моему, это смахивает на задачу, где пружинное кольцо с разными грузиками раскручивается. Только там силы натяжения пружин и центробежная сила зависят от расстояний между грузами/центром, а здесь нет.

WarWarRus

а нам тем более ничего не понятно, потому что решать в общем случае - гнилая затея.

Что непонятно то? Цифры, они цифры и есть, я же не прошу все рассчитать, а только метод подсказть.
Формулы для координат точки на окружности нашла:

WarWarRus

Ага, я придумал, как, возможно, удастся численно разобраться с нестабильностью.
Надо на очередном шаге двигать точки не в сторону действия сил, а в противоположную.

Это нужно руками делать, или есть какие-то стандартные методы? Можешь написать побробнее?
Только там силы натяжения пружин и центробежная сила зависят от расстояний между грузами/центром, а здесь нет

О чем и речь... Мне кажется, это значительно должно упрощать задачу.

MaMMolog

А зачем знать координаты точки на окружности? Раз силы от расстояния не зависят, достаточно знать направления. А направление силы коллинеарно радиус-вектору частицы.
\vec{F}_{ir} = F_{ir} * \vec{r}/r
> Это нужно руками делать, или есть какие-то стандартные методы?
Наверно, есть, но я их не знаю.
> Можешь написать побробнее?
Что будет, если разбросать точки по кругу произвольным образом (например, для удобства, по окружности малого (по сравнению с данным обручем - кстати, его радиус в задаче не важен) радиуса, разделив его на n равных сегментов.
Затем рассчитать силы. И сдвинуть каждую точку в направлении, противоположной направлению действия силы. И, скажем, на расстояние, пропорциональное силе.
Затем повторить этот шаг кучу раз.
Мне кажется, это может сойтись. Тогда найденные точки и есть положения неустойчивого равновесия.
Какие я вижу проблемы.
1) может и не сойтись;
2) положений неустойчивого равновесия может быть множество (даже отвлекаясь от круговой симметрии а ты найдешь лишь одно.

WarWarRus

А зачем знать координаты точки на окружности?

Я рассчитывала их, надеясь получить аналитическое решение.
Что будет, если разбросать точки по кругу произвольным образом (например, для удобства, по окружности малого (по сравнению с данным обручем - кстати, его радиус в задаче не важен) радиуса, разделив его на n равных сегментов.
Затем рассчитать силы. И сдвинуть каждую точку в направлении, противоположной направлению действия силы. И, скажем, на расстояние, пропорциональное силе.
Затем повторить этот шаг кучу раз.

Попробую. Мне все же думалось, что есть какое-то более простое решение. Но все равно большое спасибо.
2) положений неустойчивого равновесия может быть множество (даже отвлекаясь от круговой симметрии а ты найдешь лишь одно.

Это совершенно не так уж важно, главное найти хотя бы одно.

MaMMolog

> Это совершенно не так уж важно, главное найти хотя бы одно.
Ну так я уже три нашел
В центре окружности, в одной точке на окружности и в двух точках на окружности.

WarWarRus

нужно, чтобы точки были разбросаны внутри окружности, по идее, они должны показывать определенную картину на основе связей
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: