Задачки по функану

Marina32

Доказать, что если мера m не сигма-аддитивна на S, то построенная по ней мера Лебега не будет ее продолжением.
Знающие люди, подскажите, пжлст, что есть что в формулировке этой задачи. Я был уверен, что мера Лебега и продолжение меры по Лебегу - одно и то же.
2.Придумать посл. интегрируемых f_n т, что f_n -> f п.в., и f неинтегрируема.
Спасибо!

griz_a

Ну во втором, например, 1/x^(1-1/n)->1/x п.в.
А в первой S это кольцо?

Marina32

ага

Marina32

 1/x^(1-1/n)->1/x 
а она измерима?

griz_a

Кто? 1/x^(1-1/n)? А чего нет?

plugotarenko

Он, наверно, хотел спросить, интегрируемы ли они.
Ответ: да, интегрируемы на отрезке [0,1].

Sanych

Не будет продолжением=некоторые измеримые множества станут неизмеримыми или поменяют свою меру.
Надо доказать, что "Продолжение меры по Лебегу", применённое для не сигма-аддитивной меры, не является "продолжением меры" в обычном смысле.

Marina32

почему для нее не вып-ся теорема Фату тогда?

plugotarenko

почему для нее не вып-ся теорема Фату тогда?
Мне будет легче ответить на твой вопрос, если ты скажешь, какое утверждение, ты называешь теоремой Фату.
Я знаю Лемму Фату, утверждающую, что для ограниченных снизу функций на конечной мере
выполнено \liminf\int f_n >= \int \liminf f_n.
В данном случае она выполняется, так как обе части равны плюс бесконечность.

Marina32

да, утверждение то самое
короче, вопрос изначально такой:"Показать, что в теореме Фату, если убрать требование неотр. ф-й f_n, предельная ф-я может быть неинтегр. Даже при условии, что интегралы от f_n ограничены"

griz_a

Странная у тебя задача
Причем здесь тогда лемма фату?
Могу просто привести контрпример к лемме, например - ступеньки высоты (-n) от 0 до 1/n. Их предел 0, а интегралы -1.
А тебе надо что ли, чтобы нижний предел интегрируемых функций п.в. был неинтегрируем, при этом чтобы нижний предел их интегралов был ограничен?
Ну на, берешь такую же штуку как я говорил вначале, только продолженную как нечетную на -1,0, с разрывом в 0..... Они интегрируемы, интеграл 0, а предел функций неинтегрируем на -1,1...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: