задачка по математике

makei

Два взаимно простых числа а и b выбраны так, что a/b = b.a (десятичная дробь; a - целая часть, b - дробная часть). Найти все такие числа.
Ответ в этой задачке вроде тока 2 и 5. Помогите доказать отсутствие остальных. У меня что-то идеи закончились

margo11

Ну, с идеями можем помочь. Пусть в числе a ровно n цифр. Тогда при умножении исходного равенства на [math]$10^n$[/math] получим, что [math]$10^n \cdot \frac{a}{b}$[/math] - целое число. Т.к. a и b взаимно просты, то b делит [math]$10^n$[/math]. Т.е. разложение b - это только двойки и пятерки.

blackout

a/b = b.a
a*10^k = b^2*10^k +a*b
Либо a делится на 10^k, либо b делится на 10^k, либо a делится на 2^k и b на 5^k, либо a делится на 5^k и b на 2^k. Первые 2 варианта очевидно не подходят.
В третьем и четвертом варианте поделим a и b на 2^k и 5^k, получим a1 и b1:
a = b^2 + a1*b1 Правая часть делится на b1, а левая не может делиться, значит b1 = 1.
b^2 = a - a1*b1 Аналогично a1 = 1.
Значит a и b равнялись 2^k и 5^k. Из условия видно, что a>b, значит a=5^k и b=2^k, а не наоборот:
Также k - число цифр в a. Единственный вариант k=1, значит ответ 5 и 2.

makei

спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: